Géométrie repérée : exercices corrigés de maths 1ère à télécharger en PDF

1 Lire un vecteur normal ★★★

1. Les coefficients de \(x\) et \(y\) donnent le vecteur normal \(\vec{n}(4\,;\,-3)\). Un vecteur directeur est \(\vec{u}(-b\,;\,a) = (3\,;\,4)\) ; on vérifie \(4\times 3 - 3\times 4 = 0\).
2. Pour \(A\) : \(4\times 2 - 3\times 5 + 7 = 8 - 15 + 7 = 0\), donc \(A \in d\). Pour \(B\) : \(4 - (-3) + 7 = 4 + 3 + 7 = 14 \neq 0\), donc \(B \notin d\).

2 Point et vecteur normal ★★★

\(M(x\,;\,y)\) est sur la droite si et seulement si \(\overrightarrow{AM}\cdot\vec{n} = 0\), soit \(2(x - 3) + 5(y + 2) = 0\).

On développe : \(2x - 6 + 5y + 10 = 0\), donc \(2x + 5y + 4 = 0\). Vérification : \(2\times 3 + 5\times(-2) + 4 = 0\).

3 Point et vecteur directeur ★★★

Un vecteur normal s’obtient en échangeant les coordonnées et en changeant un signe : \(\vec{n}(-1\,;\,2)\) (on a \(\vec{u}\cdot\vec{n} = -2 + 2 = 0\)).

Une équation est \(-x + 2y + c = 0\). Comme \(B\) est sur la droite, \(0 + 6 + c = 0\), donc \(c = -6\). La droite a pour équation \(-x + 2y - 6 = 0\), soit \(x - 2y + 6 = 0\). Contrôle : \(B + \vec{u} = (2\,;\,4)\) vérifie \(2 - 8 + 6 = 0\).

4 Parallèles ou perpendiculaires ? ★★★

Les vecteurs normaux sont \((3\,;\,6)\), \((1\,;\,2)\) et \((2\,;\,-1)\).

• \(d_1\) et \(d_2\) : \(3\times 2 - 1\times 6 = 0\), les normaux sont colinéaires, donc \(d_1 \parallel d_2\) (elles ne sont pas confondues car \(-1\) et \(5\) ne sont pas dans le rapport \(3\)).
• \(d_2\) et \(d_3\) : \(1\times 2 + 2\times(-1) = 0\), donc \(d_2 \perp d_3\).
• \(d_1\) et \(d_3\) : \(3\times 2 + 6\times(-1) = 0\), donc \(d_1 \perp d_3\), ce qui est cohérent avec \(d_1 \parallel d_2\).

5 Écrire l’équation d’un cercle ★★★

L’équation est \((x + 2)^2 + (y - 5)^2 = 9\).

On développe : \(x^2 + 4x + 4 + y^2 - 10y + 25 = 9\), donc \(x^2 + y^2 + 4x - 10y + 20 = 0\).

6 Un point est-il sur le cercle ? ★★★

On calcule \((x - 1)^2 + (y + 3)^2\) pour chaque point.

• \(A\) : \(4^2 + (-2)^2 = 16 + 4 = 20\), donc \(A \in \mathcal{C}\).
• \(B\) : \((-1)^2 + 4^2 = 1 + 16 = 17 \neq 20\), donc \(B \notin \mathcal{C}\).
• \(C\) : \((-4)^2 + 2^2 = 16 + 4 = 20\), donc \(C \in \mathcal{C}\).

7 Vrai ou faux ? ★★★

1. Vrai. \((10\,;\,-4) = 2\times(5\,;\,-2)\) est colinéaire au vecteur normal \((5\,;\,-2)\).
2. Faux. Un vecteur directeur est \((-b\,;\,a) = (2\,;\,5)\) ; or \(5\times 5 - 2\times 2 = 21 \neq 0\), donc \((5\,;\,2)\) n’est pas colinéaire à \((2\,;\,5)\).
3. Faux. La droite \(x - 3 = 0\) a pour vecteur normal \((1\,;\,0)\) ; elle est verticale et \((0\,;\,1)\) est un vecteur directeur, pas un vecteur normal.

8 Droite passant par deux points ★★★

On a \(\overrightarrow{AB}(3\,;\,-4)\), vecteur directeur de \((AB)\). Un vecteur normal est donc \(\vec{n}(4\,;\,3)\) (car \(3\times 4 + (-4)\times 3 = 0\)).

Une équation est \(4x + 3y + c = 0\). Avec \(A\) : \(4 + 6 + c = 0\), donc \(c = -10\). La droite \((AB)\) a pour équation \(4x + 3y - 10 = 0\). Vérification avec \(B\) : \(16 - 6 - 10 = 0\).

9 Parallèle et perpendiculaire en un point ★★★

Parallèle. Elle a le même vecteur normal \((5\,;\,2)\) : \(5x + 2y + c = 0\). Avec \(P\) : \(-10 + 2 + c = 0\), donc \(c = 8\) et l’équation est \(5x + 2y + 8 = 0\).

Perpendiculaire. Le vecteur normal de \(d\) est directeur de la perpendiculaire ; un vecteur directeur de \(d\) est \((-2\,;\,5)\), qui sert de vecteur normal à la perpendiculaire : \(-2x + 5y + c = 0\). Avec \(P\) : \(4 + 5 + c = 0\), donc \(c = -9\). L’équation est \(-2x + 5y - 9 = 0\), soit \(2x - 5y + 9 = 0\). Contrôle : \(5\times 2 + 2\times(-5) = 0\), les droites sont bien perpendiculaires.

10 Hauteurs et orthocentre ★★★

1. La hauteur issue de \(A\) est perpendiculaire à \((BC)\) : \(\overrightarrow{BC}(-4\,;\,4)\) est normal. On écrit \(-4(x + 1) + 4(y - 0) = 0\), soit \(x - y + 1 = 0\) (vérifié par \(A\) : \(-1 + 1 = 0\)).
   La hauteur issue de \(B\) est perpendiculaire à \((AC)\) : \(\overrightarrow{AC}(2\,;\,6)\) est normal. On écrit \(2(x - 5) + 6(y - 2) = 0\), soit \(x + 3y - 11 = 0\) (vérifié par \(B\) : \(5 + 6 - 11 = 0\)).
2. On résout \(x - y + 1 = 0\) et \(x + 3y - 11 = 0\). En soustrayant : \(4y - 12 = 0\), donc \(y = 3\) puis \(x = 2\). Ainsi \(H(2\,;\,3)\).
   Contrôle avec la hauteur issue de \(C\) : \(\overrightarrow{CH}(1\,;\,-3)\) et \(\overrightarrow{AB}(6\,;\,2)\) donnent \(6 - 6 = 0\), donc \((CH) \perp (AB)\).

11 Cercle centré en A passant par B ★★★

Le rayon est \(AB\) et \(AB^2 = (4 - 1)^2 + (2 + 2)^2 = 9 + 16 = 25\), donc \(r = 5\).

L’équation est \((x - 1)^2 + (y + 2)^2 = 25\). En développant : \(x^2 - 2x + 1 + y^2 + 4y + 4 = 25\), donc \(x^2 + y^2 - 2x + 4y - 20 = 0\). Vérification avec \(B\) : \(16 + 4 - 8 + 8 - 20 = 0\).

12 Centre et rayon à partir d’une équation ★★★

On met sous forme canonique : \(x^2 + 8x = (x + 4)^2 - 16\) et \(y^2 - 2y = (y - 1)^2 - 1\).

L’équation devient \((x + 4)^2 + (y - 1)^2 - 17 + 8 = 0\), c’est-à-dire \((x + 4)^2 + (y - 1)^2 = 9\). Le second membre est strictement positif : c’est le cercle de centre \((-4\,;\,1)\) et de rayon \(3\).

13 Une droite coupe un cercle ★★★

On remplace \(y\) : \(x^2 + (x + 1)^2 = 13\), soit \(2x^2 + 2x - 12 = 0\), donc \(x^2 + x - 6 = 0\). Le discriminant est \(1 + 24 = 25\) et les solutions sont \(x = 2\) et \(x = -3\).

Avec \(y = x + 1\) : les points d’intersection sont \((2\,;\,3)\) et \((-3\,;\,-2)\). Vérification : \(4 + 9 = 13\) et \(9 + 4 = 13\).

14 Tangente en un point de x² + y² = 25 ★★★

\(OA^2 = 3^2 + (-4)^2 = 25\), donc \(A\) est sur le cercle.

La tangente en \(A\) a pour vecteur normal \(\overrightarrow{OA}(3\,;\,-4)\) : \(3(x - 3) - 4(y + 4) = 0\), soit \(3x - 4y - 25 = 0\). Vérification avec \(A\) : \(9 + 16 - 25 = 0\).

15 Médiatrice d’un segment ★★★

\(MA = MB \iff MA^2 = MB^2\), soit \((x + 3)^2 + (y - 1)^2 = (x - 5)^2 + (y - 5)^2\).

On développe : \(6x - 2y + 10 = -10x - 10y + 50\), donc \(16x + 8y - 40 = 0\), c’est-à-dire \(2x + y - 5 = 0\).

Vérification : le milieu \(I(1\,;\,3)\) vérifie \(2 + 3 - 5 = 0\), et le vecteur normal \((2\,;\,1)\) est colinéaire à \(\overrightarrow{AB}(8\,;\,4)\). C’est bien la médiatrice de \([AB]\).

16 Cercle de diamètre [AB] ★★★

\(M(x\,;\,y)\) est sur le cercle si et seulement si \(\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB} = 0\), soit \((x + 2)(x - 4) + (y + 1)(y - 3) = 0\).

On développe : \(x^2 - 2x - 8 + y^2 - 2y - 3 = 0\), donc \(x^2 + y^2 - 2x - 2y - 11 = 0\), puis \((x - 1)^2 + (y - 1)^2 = 13\).

Centre \((1\,;\,1)\), milieu de \([AB]\) ; rayon \(\sqrt{13}\). Contrôle : \(AB^2 = 36 + 16 = 52\) et \(52/4 = 13\).

17 Une corde qui est un diamètre ★★★

1. De \(y = 3x - 1\) on tire \((x - 1)^2 + (3x - 3)^2 = 10\), soit \(10(x - 1)^2 = 10\), donc \((x - 1)^2 = 1\) et \(x = 0\) ou \(x = 2\). Les points sont \(M(0\,;\,-1)\) et \(N(2\,;\,5)\).
2. \(MN^2 = 2^2 + 6^2 = 40\), donc \(MN = 2\sqrt{10}\). C’est exactement le diamètre du cercle (\(2r = 2\sqrt{10}\)). Explication : le centre \(\Omega(1\,;\,2)\) vérifie \(3\times 1 - 2 - 1 = 0\), donc la droite \(d\) passe par le centre et \([MN]\) est un diamètre.

18 Nombre de points communs selon un paramètre ★★★

1. On remplace : \(x^2 + (2x + m)^2 = 20\), soit \(5x^2 + 4mx + m^2 - 20 = 0\).
2. Le discriminant est \(\Delta = 16m^2 - 20(m^2 - 20) = -4m^2 + 400 = 4(100 - m^2)\).
   • Si \(-10 < m < 10\) : \(\Delta > 0\), deux points communs.
   • Si \(m = 10\) ou \(m = -10\) : \(\Delta = 0\), un point commun (tangente).
   • Si \(m < -10\) ou \(m > 10\) : \(\Delta < 0\), aucun point commun.
3. Pour \(m = 10\) : \(5x^2 + 40x + 80 = 0\), soit \(x^2 + 8x + 16 = 0\), \((x + 4)^2 = 0\), donc \(x = -4\) et \(y = 2\times(-4) + 10 = 2\). Le point \(T(-4\,;\,2)\) est sur le cercle (\(16 + 4 = 20\)). Un vecteur directeur de \(d_{10}\) est \((1\,;\,2)\) et \(\overrightarrow{OT}\cdot(1\,;\,2) = -4 + 4 = 0\) : la droite est perpendiculaire au rayon \([OT]\), donc tangente. (On retrouve aussi l’unique point commun, \(\Delta = 0\).)

19 Quel est cet ensemble ? ★★★

Dans les trois cas, \(x^2 - 4x + y^2 + 6y = (x - 2)^2 + (y + 3)^2 - 13\).

1. L’équation devient \((x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 0\) : \(E\) est réduit au point \((2\,;\,-3)\).
2. L’équation devient \((x - 2)^2 + (y + 3)^2 = -7\), impossible car une somme de carrés est positive : \(E\) est vide.
3. L’équation devient \((x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 25\) : \(E\) est le cercle de centre \((2\,;\,-3)\) et de rayon \(5\).

20 Un lieu de points : MA = 2MB ★★★

\(MA = 2MB \iff MA^2 = 4MB^2\), soit \(x^2 + y^2 = 4\big((x - 3)^2 + y^2\big)\).

On développe : \(x^2 + y^2 = 4x^2 - 24x + 36 + 4y^2\), donc \(3x^2 + 3y^2 - 24x + 36 = 0\), soit \(x^2 + y^2 - 8x + 12 = 0\), puis \((x - 4)^2 + y^2 = 4\).

L’ensemble est le cercle de centre \((4\,;\,0)\) et de rayon \(2\). Contrôle : \((2\,;\,0)\) vérifie \(MA = 2\) et \(MB = 1\) ; \((6\,;\,0)\) vérifie \(MA = 6\) et \(MB = 3\).

21 Tangentes issues d’un point extérieur ★★★

1. \(OP^2 = 100 + 25 = 125 > 25\), donc \(OP > 5\) : \(P\) est extérieur au cercle.
2. On a \(a^2 + b^2 = 25\) et \(\overrightarrow{OT}\cdot\overrightarrow{TP} = a(10 - a) + b(5 - b) = 0\), soit \(10a + 5b - (a^2 + b^2) = 0\), donc \(10a + 5b = 25\) et \(b = 5 - 2a\).
   On remplace : \(a^2 + (5 - 2a)^2 = 25\), soit \(5a^2 - 20a = 0\), donc \(a = 0\) ou \(a = 4\). On obtient \(T_1(0\,;\,5)\) et \(T_2(4\,;\,-3)\).
3. En \(T_1\) : normal \(\overrightarrow{OT_1}(0\,;\,5)\), d’où \(0\times x + 5(y - 5) = 0\), soit \(y = 5\) (elle passe bien par \(P\)).
   En \(T_2\) : normal \((4\,;\,-3)\), d’où \(4(x - 4) - 3(y + 3) = 0\), soit \(4x - 3y - 25 = 0\). Contrôle avec \(P\) : \(40 - 15 - 25 = 0\).