Géométrie repérée : corrigé du contrôle de maths 1ère à télécharger en PDF

1 Vecteur normal et appartenance / 3 pts

1. Vecteur normal \(\vec{n}(5\,;\,-2)\) (1 pt) ; vecteur directeur \(\vec{u}(2\,;\,5)\) (0,5 pt, contrôle \(\vec{u}\cdot\vec{n} = 0\) accepté).
2. \(A\) : \(5 - 8 + 3 = 0\), donc \(A \in d\) (0,5 pt). \(B\) : \(-15 + 12 + 3 = 0\), donc \(B \in d\) (0,5 pt). \(C\) : \(10 - 10 + 3 = 3 \neq 0\), donc \(C \notin d\) (0,5 pt).

Total : 3 points.

2 Droite et parallèle / 3 pts

1. \(4(x + 2) + (y - 3) = 0\) (1 pt), soit \(4x + y + 5 = 0\) (1 pt). Vérification : \(-8 + 3 + 5 = 0\).
2. La parallèle a le même vecteur normal : \(4x + y + c = 0\) (0,5 pt). Avec \(B\) : \(4 + 1 + c = 0\), donc \(c = -5\) et l’équation est \(4x + y - 5 = 0\) (0,5 pt).

3 Hauteur et médiatrice / 4 pts

1. La hauteur issue de \(A\) est orthogonale à \((BC)\) : \(\overrightarrow{BC}(-3\,;\,4)\) est normal (1 pt). Équation : \(-3(x - 2) + 4(y + 1) = 0\), soit \(-3x + 4y + 10 = 0\) (1 pt). Vérification : \(-6 - 4 + 10 = 0\).
2. Le milieu de \([AB]\) est \(I(4\,;\,0)\) et \(\overrightarrow{AB}(4\,;\,2)\) est normal à la médiatrice (1 pt). Équation : \(4(x - 4) + 2(y - 0) = 0\), soit \(2x + y - 8 = 0\) (1 pt).

4 Équation d’un cercle / 3 pts

1. \(\Omega B^2 = 3^2 + 4^2 = 25\), donc \(r = 5\) (1 pt). L’équation est \((x + 1)^2 + (y - 2)^2 = 25\) (1 pt).
2. \(x^2 + 2x + 1 + y^2 - 4y + 4 = 25\), donc \(x^2 + y^2 + 2x - 4y - 20 = 0\) (1 pt).

5 Reconnaître un cercle / 3 pts

\(x^2 - 10x = (x - 5)^2 - 25\) et \(y^2 + 2y = (y + 1)^2 - 1\) (1 pt). L’équation devient \((x - 5)^2 + (y + 1)^2 = 25 + 1 - 1 = 25\) (1 pt).

C’est le cercle de centre \((5\,;\,-1)\) et de rayon \(5\) (1 pt).

6 Intersection et tangente / 4 pts

1. De \(y = 6 - x\), on tire \(x^2 + (6 - x)^2 = 26\), soit \(2x^2 - 12x + 10 = 0\), donc \(x^2 - 6x + 5 = 0\) (1 pt). Les solutions sont \(x = 1\) et \(x = 5\) (0,5 pt), d’où les points \((1\,;\,5)\) et \((5\,;\,1)\) (0,5 pt).
2. \(\overrightarrow{OA}(5\,;\,1)\) est normal à la tangente (1 pt). Équation : \(5(x - 5) + (y - 1) = 0\), soit \(5x + y - 26 = 0\) (1 pt).