Équations différentielles : corrigé du contrôle de maths Licence L2 à télécharger en PDF

1 Équation linéaire d’ordre 1 / 4 pts

1. \(y_h = Ce^{t}\) (1 pt).
2. Pour \(y_p = \alpha t + \beta\) : \(\alpha - \alpha t - \beta = 2t\), donc \(\alpha = -2\) et \(\alpha - \beta = 0\), soit \(\beta = -2\) ; \(y_p = -2t - 2\) (2 pts).
3. \(y = Ce^{t} - 2t - 2\) ; \(y(0) = C - 2 = 1\) donne \(C = 3\), donc \(y(t) = 3e^{t} - 2t - 2\) (1 pt).

2 Équation d’ordre 2 avec second membre / 4 pts

1. \(r^2 - 2r - 3 = (r-3)(r+1)\) : \(y_h = Ae^{3t} + Be^{-t}\) (1 pt).
2. \(\alpha e^t\) donne \((\alpha - 2\alpha - 3\alpha)e^t = -4\alpha e^t = 8e^t\), donc \(\alpha = -2\) (1 pt).
3. \(y = Ae^{3t} + Be^{-t} - 2e^t\). \(y(0) = A + B - 2 = 0\) et \(y'(0) = 3A - B - 2 = 0\) ; en ajoutant, \(4A = 4\), donc \(A = 1\) et \(B = 1\) : \(y(t) = e^{3t} + e^{-t} - 2e^{t}\) (2 pts).

3 Oscillateur amorti / 3 pts

\(r^2 + 2r + 10 = 0\), \(\Delta = -36\), \(r = -1 \pm 3i\) (1 pt). \(y = e^{-t}(A\cos 3t + B\sin 3t)\) (0,5 pt). \(y(0) = A = 2\) ; \(y'(0) = -A + 3B = 0\) donne \(B = \dfrac23\) (1 pt). \(y(t) = e^{-t}\left(2\cos 3t + \dfrac23\sin 3t\right)\). Le facteur \(e^{-t}\) tend vers \(0\) et la parenthèse est bornée, donc \(y \to 0\) (0,5 pt).

4 Système différentiel / 4 pts

1. \(T = 4\), \(D = 3\) : valeurs propres \(3\) et \(1\). Vecteurs propres \((1,1)\) pour \(3\) et \((1,-1)\) pour \(1\) (1,5 pt).
2. \((3,1) = a(1,1) + b(1,-1)\) donne \(a = 2\), \(b = 1\). Donc \(x(t) = 2e^{3t} + e^{t}\) et \(y(t) = 2e^{3t} - e^{t}\) (2 pts).
3. Valeurs propres réelles positives : nœud instable (0,5 pt).

5 Équation à variables séparables / 3 pts

Comme \(1 + y^2 \neq 0\), \(\dfrac{y'}{1 + y^2} = 1\), c’est-à-dire \((\arctan y)' = 1\) (1 pt). Donc \(\arctan y = t + K\) ; \(y(0) = 0\) donne \(K = 0\) (0,5 pt). Ainsi \(y(t) = \tan t\) (0,5 pt), à condition que \(t + K \in \left]-\dfrac\pi2\,;\dfrac\pi2\right[\) : l’intervalle maximal est \(\left]-\dfrac\pi2\,;\dfrac\pi2\right[\), car \(\tan t \to \pm\infty\) aux bornes (1 pt).

6 Stabilité en dimension 1 / 2 pts

Équilibres : \(1\) et \(4\) (0,5 pt). \(f(y) = -y^2 + 5y - 4\), \(f'(y) = -2y + 5\) : \(f'(1) = 3 > 0\), \(1\) est instable ; \(f'(4) = -3 < 0\), \(4\) est stable (1 pt). Pour \(y(0) = 2 \in ]1\,;4[\), \(f > 0\) : la solution croît et reste inférieure à \(4\), donc tend vers \(4\) (0,5 pt).