Initiation au calcul littéral : exercices corrigés de maths 5ème à télécharger en PDF

1 Traduire en expression ★★★

1. \(2x\).
2. \(x + 9\).
3. \(3x - 4\).
4. \(\dfrac{x}{2}\).
5. \(x^2\), car \(x \times x = x^2\).

2 Supprimer le signe × ★★★

\(4 \times x = 4x\) ; \(y \times 7 = 7y\) (le nombre d’abord) ; \(a \times b = ab\) ; \(1 \times t = t\) ; \(5 \times (n + 2) = 5(n + 2)\) ; \(x \times x = x^2\).

3 Rétablir le signe × ★★★

\(6k = 6 \times k\) ; \(mn = m \times n\) ; \(4(a + 2) = 4 \times (a + 2)\) ; \(t^2 = t \times t\) ; \(5xy = 5 \times x \times y\).

4 Première substitution ★★★

\(5x = 5 \times 3 = 15\) ; \(x + 8 = 3 + 8 = 11\) ; \(2x + 1 = 2 \times 3 + 1 = 7\) ; \(x^2 = 3 \times 3 = 9\).

5 Une frise de triangles ★★★

1. \(3\), \(5\), \(7\) puis \(9\) allumettes : on en ajoute \(2\) à chaque triangle.
2. Il faut \(3\) allumettes pour le premier triangle puis \(2\) par triangle supplémentaire : \(2n + 1\).
3. Pour \(n = 10\) : \(2 \times 10 + 1 = 21\) allumettes.

6 Réduire des sommes ★★★

\(4a + 3a = 7a\) ; \(9b - 2b = 7b\) ; \(c + c + c = 3c\) ; \(5t + t = 6t\) (car \(t = 1t\)).

7 Le périmètre du carré ★★★

1. Le carré a quatre côtés égaux : \(P = c + c + c + c = 4c\).
2. Pour \(c = 6{,}5\) : \(P = 4 \times 6{,}5 = 26\) cm. Pour \(c = 12\) : \(P = 4 \times 12 = 48\) cm.

8 Deux expressions à calculer ★★★

1. \(x = 4\) : \(A = 3 \times 4 + 7 = 19\). \(x = 0{,}5\) : \(A = 1{,}5 + 7 = 8{,}5\).
2. \(x = 3\) : \(B = 9 + 6 = 15\). \(x = 1{,}5\) : \(B = 2{,}25 + 3 = 5{,}25\).

9 Vrai ou faux ? ★★★

1. Vrai : \(2x + 3x = (2 + 3)x = 5x\).
2. Faux : pour \(x = 3\), \(x + x = 6\) et \(x^2 = 9\). C’est un contre-exemple (pour \(x = 2\) elle marche, mais ce n’est pas suffisant).
3. Faux : \(4x - x = 3x\). Pour \(x = 2\), le membre de gauche vaut \(6\) et celui de droite \(4\).
4. Vrai : \(2 \times x \times 3 = 2 \times 3 \times x = 6x\).

10 Réduire avec des nombres ★★★

\(5x + 2x + 4 = 7x + 4\) ; \(8y + 3 - 5y + 1 = (8 - 5)y + (3 + 1) = 3y + 4\) ; \(6a + 4 + a + 7 = 7a + 11\) ; \(9m - 4 + 2m - 3 = 11m - 7\).

11 Au rayon papeterie ★★★

1. Les carnets coûtent \(3 \times p = 3p\) euros, donc la dépense est \(3p + 2\).
2. \(p = 1{,}8\) : \(3 \times 1{,}8 + 2 = 5{,}4 + 2 = 7{,}4\) €. \(p = 2{,}5\) : \(7{,}5 + 2 = 9{,}5\) €.

12 Quelle valeur convient ? ★★★

\(x = 4\) : \(4 + 9 = 13\) et \(3 \times 4 - 1 = 11\). Faux.

\(x = 5\) : \(5 + 9 = 14\) et \(3 \times 5 - 1 = 14\). Vrai.

\(x = 6\) : \(15\) et \(17\). Faux. Seule la valeur \(x = 5\) convient parmi les trois.

13 Un rectangle à largeur variable ★★★

1. \(P = x + (x + 3) + x + (x + 3) = 4x + 6\).
2. \(x = 5\) : \(P = 4 \times 5 + 6 = 26\) cm. Vérification : \(2 \times (5 + 8) = 26\).
3. \(x = 5\) donne \(26\) ; \(x = 6\) donne \(4 \times 6 + 6 = 30\). Le périmètre vaut \(30\) cm pour \(x = 6\) cm.

14 Distance et vitesse ★★★

1. \(d = vt\).
2. \(d = 80 \times 3{,}5 = 280\) km.
3. Cycliste : \(d = 21 \times 2 = 42\) km. Autobus : on cherche \(t\) tel que \(70t = 210\). Pour \(t = 2\), \(140\) ; pour \(t = 3\), \(210\). Il a roulé \(3\) h.

15 Un programme de calcul ★★★

1. Ajouter \(4\) donne \(x + 4\) ; multiplier par \(3\) donne \(3(x + 4)\) ; retirer \(12\) donne \(3(x + 4) - 12\).
2. \(x = 5\) : \(3 \times 9 - 12 = 15\). \(x = 7\) : \(3 \times 11 - 12 = 21\). \(x = 10\) : \(3 \times 14 - 12 = 30\).
3. Le résultat est chaque fois le triple du nombre de départ (\(15 = 3 \times 5\), \(21 = 3 \times 7\), \(30 = 3 \times 10\)). On peut conjecturer que le programme donne \(3x\) ; trois essais ne le prouvent pas, mais ils donnent une bonne piste.

16 Le périmètre d’un triangle ★★★

1. \(P = x + (x + 4) + (2x - 1) = x + x + 2x + 4 - 1 = 4x + 3\).
2. \(x = 6\) : \(P = 4 \times 6 + 3 = 27\) cm.
3. On teste : \(x = 6\) donne \(27\), \(x = 7\) donne \(4 \times 7 + 3 = 31\). Donc \(x = 7\). Les côtés valent \(7\) cm, \(11\) cm et \(13\) cm, et \(7 + 11 = 18 > 13\) : le triangle existe.

17 Trouve les erreurs ★★★

(1) Pour \(x = 2\) : \(3x + 2x = 10\) mais \(5x^2 = 20\). Correct : \(5x\).

(2) Pour \(x = 1\) : \(x + 4x = 5\) mais \(4x = 4\). Correct : \(5x\), car \(x = 1x\).

(3) Pour \(y = 2\) : \(7y - y = 12\) mais le résultat annoncé est \(7\). Correct : \(6y\).

(4) Pour \(a = 1\) : \(2 \times 1 \times 3 = 6\) mais \(23a = 23\). Correct : \(6a\).

18 Les rosiers du jardinier ★★★

1. Les rangées contiennent \(5 \times r = 5r\) rosiers, donc \(5r + 8 = 53\).
2. \(r = 8\) : \(5 \times 8 + 8 = 48\), ce n’est pas \(53\). \(r = 9\) : \(5 \times 9 + 8 = 53\), l’égalité est vraie.
3. Il y a \(9\) rosiers par rangée.

19 Location de vélo ★★★

1. Offre A : \(6 + 4h\). Offre B : \(7h\).

2. \(h\)	1	2	3
   Offre A	10 €	14 €	18 €
   Offre B	7 €	14 €	21 €

3. Les prix sont égaux pour \(h = 2\) : \(6 + 4 \times 2 = 14 = 7 \times 2\). Pour \(h = 3\), l’offre A coûte \(18\) € contre \(21\) € : au-delà de \(2\) heures, l’offre A est plus avantageuse.

20 Bonne formule, mauvaise formule ★★★

1. À la main : \(8 + 3 + 8 + 3 = 22\) cm. Aïda : \(2 \times (8 + 3) = 22\). Yanis : \(2 \times 8 + 3 = 19\).
2. La formule de Yanis est fausse : avec \(L = 8\) et \(l = 3\), elle donne \(19 \neq 22\). La bonne formule est \(2L + 2l\), égale à celle d’Aïda.
3. La largeur est \(\dfrac{L}{2}\), donc \(P = L + \dfrac{L}{2} + L + \dfrac{L}{2} = 2L + L = 3L\). Pour \(L = 14\) : \(P = 3 \times 14 = 42\) cm.