Probabilités : exercices corrigés de maths 4ème à télécharger en PDF

1 Expérience aléatoire ou non ? ★★★

Une expérience est aléatoire si l’on ne peut pas prévoir son résultat alors que ses issues sont connues.

1. Aléatoire : on ne sait pas quelle face sortira.
2. Non aléatoire : le résultat est toujours \(56\).
3. Aléatoire : on ne sait pas quelle carte sera tirée.
4. Non aléatoire : on connaît à coup sûr le résultat.
5. Aléatoire : on ne sait pas quel prénom sortira.

2 Issues et événements sur une roue ★★★

1. Les issues sont \(1, 2, 3, 4, 5\) : il y en a 5.
2. Les nombres pairs sont \(2\) et \(4\) : 2 issues favorables.
3. Les secteurs sont égaux, donc les issues sont équiprobables : \(P = \dfrac{2}{5} = 0{,}4\).

3 Deux lancers de pièce ★★★

1. Les issues sont PP, PF, FP, FF : il y en a 4, toutes équiprobables.
2. « Exactement une fois face » : PF et FP, soit 2 issues. \(P = \dfrac{2}{4} = \dfrac{1}{2}\).
3. Le contraire est « ne jamais obtenir face », c’est-à-dire PP. Sa probabilité est \(\dfrac{1}{4}\).

4 Boules numérotées ★★★

Les 10 boules sont équiprobables, il y a 10 issues.

1. Une seule issue favorable : \(P = \dfrac{1}{10}\).
2. Les nombres pairs sont \(2, 4, 6, 8, 10\) : \(P = \dfrac{5}{10} = \dfrac{1}{2}\).
3. Les multiples de 3 sont \(3, 6, 9\) : \(P = \dfrac{3}{10}\).

5 Vrai ou faux : valeurs possibles ★★★

1. Faux : une probabilité est toujours inférieure ou égale à \(1\).
2. Vrai : aucune issue ne réalise l’événement, donc \(P = 0\).
3. Faux : \(\dfrac{3}{2} = 1{,}5 > 1\).
4. Faux : une probabilité est toujours supérieure ou égale à \(0\).
5. Vrai : toutes les issues réalisent l’événement, donc \(P = 1\).

6 Probabilité de l’événement contraire ★★★

On utilise \(P(\overline{E}) = 1 - P(E)\).

1. \(P(\overline{A}) = 1 - 0{,}35 = 0{,}65\).
2. \(P(\overline{B}) = 1 - \dfrac{3}{7} = \dfrac{7}{7} - \dfrac{3}{7} = \dfrac{4}{7}\).
3. \(P(\overline{C}) = 1 - 0{,}08 = 0{,}92\).

7 Impossible, certain ou une chance sur deux ? ★★★

1. Deux issues équiprobables dont une favorable : \(\dfrac{1}{2}\).
2. Toutes les faces sont inférieures ou égales à 6, l’événement est certain : \(1\).
3. Aucune face ne porte 7, l’événement est impossible : \(0\).

8 Dans un jeu de 32 cartes ★★★

Il y a 32 cartes équiprobables.

1. 4 rois : \(P = \dfrac{4}{32} = \dfrac{1}{8}\).
2. 8 cœurs : \(P = \dfrac{8}{32} = \dfrac{1}{4}\).
3. 1 seul roi de cœur : \(P = \dfrac{1}{32}\).
4. \(8 + 8 = 16\) cartes rouges : \(P = \dfrac{16}{32} = \dfrac{1}{2}\).

9 Une urne à trois couleurs ★★★

Il y a 15 issues équiprobables.

1. \(P = \dfrac{6}{15} = \dfrac{2}{5}\).
2. Il y a \(15 - 5 = 10\) boules non vertes : \(P = \dfrac{10}{15} = \dfrac{2}{3}\). Par le contraire : \(1 - \dfrac{5}{15} = \dfrac{10}{15}\).
3. \(6 + 4 = 10\) boules favorables : \(P = \dfrac{10}{15} = \dfrac{2}{3}\).
4. Il n’y a aucune boule blanche : l’événement est impossible, \(P = 0\).

10 Tirage au sort dans une classe ★★★

Il y a 28 issues équiprobables.

1. \(P = \dfrac{16}{28} = \dfrac{4}{7}\).
2. \(P = \dfrac{5}{28}\).
3. \(P = \dfrac{2}{28} = \dfrac{1}{14}\).
4. Il y a \(5 - 2 = 3\) garçons gauchers, donc \(12 - 3 = 9\) garçons non gauchers : \(P = \dfrac{9}{28}\).

11 Événements sur un dé ★★★

Il y a 6 issues équiprobables.

1. Nombres premiers : \(2, 3, 5\) (le nombre 1 n’est pas premier). \(P(A) = \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}\).
2. Issues : \(2, 3, 4, 6\) (attention à ne pas compter 6 deux fois). \(P(B) = \dfrac{4}{6} = \dfrac{2}{3}\).
3. Diviseurs de 12 : \(1, 2, 3, 4, 6\). \(P(C) = \dfrac{5}{6}\). Le contraire est « obtenir 5 » : \(P(\overline{C}) = 1 - \dfrac{5}{6} = \dfrac{1}{6}\).

12 Lancers de punaise ★★★

1. \(f = \dfrac{74}{200} = 0{,}37\).
2. On estime la probabilité à \(0{,}37\) : \(1\,000 \times 0{,}37 = 370\) fois environ.
3. Non : \(0{,}37\) est une fréquence observée, pas la probabilité exacte. Elle donne seulement une estimation, qui serait différente avec une autre série de lancers.

13 Un dé observé sur 120 lancers ★★★

1. \(18 + 22 + 19 + 21 + 17 + 23 = 120\).
2. \(f = \dfrac{23}{120} \approx 0{,}192\).
3. Pairs : \(22 + 21 + 23 = 66\), donc \(f = \dfrac{66}{120} = 0{,}55\).
4. Pour un dé équilibré, \(P(6) = \dfrac{1}{6} \approx 0{,}167\) et \(P(\text{pair}) = 0{,}5\). Les fréquences observées sont proches des probabilités, sans leur être égales : cela ne permet pas de dire que le dé est truqué.

14 Un distributeur de bonbons ★★★

1. \(P = \dfrac{8}{20} = \dfrac{2}{5}\).
2. Il y a maintenant \(20 + 5 = 25\) bonbons dont \(7 + 5 = 12\) au citron : \(P = \dfrac{12}{25} = 0{,}48\).

15 Combien de jetons rouges ? ★★★

1. Le nombre de jetons rouges est \(24 \times \dfrac{3}{8} = 9\).
2. \(1 - \dfrac{3}{8} = \dfrac{5}{8}\).
3. \(24 - 9 = 15\) jetons, ce qui correspond à \(24 \times \dfrac{5}{8} = 15\).

16 Concevoir une roue de jeu ★★★

1. Nombre de secteurs gagnants : \(20 \times 0{,}4 = 8\) (les secteurs orange de la figure).
2. \(P(\text{perdre}) = 1 - 0{,}4 = 0{,}6\), soit 12 secteurs sur 20.
3. \(20 \times 0{,}7 = 14\) secteurs perdants, donc 6 secteurs gagnants.

17 Un sac à trois couleurs inconnues ★★★

1. Les trois événements « rouge », « bleue » et « verte » couvrent toutes les issues sans se chevaucher, donc leurs probabilités ont pour somme \(1\) : \(P(\text{verte}) = 1 - 0{,}25 - 0{,}45 = 0{,}30\).
2. Rouges : \(40 \times 0{,}25 = 10\). Bleues : \(40 \times 0{,}45 = 18\). Vertes : \(40 \times 0{,}30 = 12\). Vérification : \(10 + 18 + 12 = 40\).

18 Trois lancers de pièce ★★★

1. PPP, PPF, PFP, PFF, FPP, FPF, FFP, FFF : 8 issues équiprobables.
2. Exactement deux « face » : PFF, FPF, FFP, soit 3 issues. \(P = \dfrac{3}{8}\).
3. Le contraire de « au moins un pile » est « aucun pile », c’est-à-dire FFF, de probabilité \(\dfrac{1}{8}\). Donc \(P = 1 - \dfrac{1}{8} = \dfrac{7}{8}\).

19 Fluctuation d’échantillonnage ★★★

1. \(P(\text{rouge}) = \dfrac{3}{10} = 0{,}3\).
2. Le hasard fait fluctuer les résultats d’une série à l’autre : la fréquence est observée, la probabilité est théorique.
3. \(\dfrac{0{,}28 + 0{,}31 + 0{,}29 + 0{,}33 + 0{,}30}{5} = \dfrac{1{,}51}{5} = 0{,}302\). Cette moyenne est très proche de \(0{,}3\) : sur beaucoup de tirages, la fréquence se rapproche de la probabilité.

20 Vrai ou faux argumenté ★★★

1. Faux : le hasard n’a pas de mémoire, la probabilité reste \(\dfrac{1}{2}\) à chaque lancer.
2. Faux : les issues équiprobables sont les 3 jetons, pas les couleurs. \(P(\text{rouge}) = \dfrac{2}{3}\).
3. Vrai : \(P(A) + P(\overline{A}) = 1\).
4. Faux : \(0{,}3\) est une fréquence sur seulement 10 lancers. La probabilité d’obtenir 6 avec un dé équilibré est \(\dfrac{1}{6}\).