Équations du premier degré : exercices corrigés de maths 4ème

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Exercices corrigés de maths en 4ème : Équations du premier degré — Zyro, l’explorateur de Planète Maths

Corrigés rédigés des exercices du chapitre. Vérifie chaque étape, puis corrige-toi.

1 Quels nombres sont solutions ? ★★★

On remplace \(x\) dans \(3x - 5\) et on compare à \(7\).

\(x = 2\) : \(3 \times 2 - 5 = 1 \neq 7\). \(x = 3\) : \(3 \times 3 - 5 = 4 \neq 7\). \(x = 4\) : \(3 \times 4 - 5 = 7\), égal à \(7\). \(x = 5\) : \(3 \times 5 - 5 = 10 \neq 7\).

Seul le nombre \(4\) est solution.

2 Une seule opération ★★★

a) On retranche \(9\) : \(x = 15 - 9 = 6\).

b) On ajoute \(7\) : \(x = 12 + 7 = 19\).

c) On divise par \(5\) : \(x = 40 \div 5 = 8\).

d) On multiplie par \(4\) : \(x = 6 \times 4 = 24\).

3 Deux étapes ★★★

a) \(2x = 12\), donc \(x = 6\). Vérification : \(2 \times 6 + 7 = 19\).

b) \(3x = 15\), donc \(x = 5\). Vérification : \(3 \times 5 - 4 = 11\).

c) \(5x = 35\), donc \(x = 7\). Vérification : \(5 \times 7 + 3 = 38\).

d) \(4x = 16\), donc \(x = 4\). Vérification : \(4 \times 4 - 9 = 7\).

4 Vrai ou faux ? ★★★

a) Vrai : \(2 \times (-3) + 10 = -6 + 10 = 4\).

b) Faux : à gauche \(4 \times 5 - 3 = 17\), à droite \(2 \times 5 + 8 = 18\), et \(17 \neq 18\).

c) Vrai : \(5 \times 0 - 1 = -1\).

5 Deux petits problèmes ★★★

a) Soit \(x\) le nombre de billes de départ : \(x + 14 = 41\), donc \(x = 27\). Maël avait 27 billes.

b) Soit \(x\) le prix d’un billet en euros : \(3x + 2 = 29\), donc \(3x = 27\) et \(x = 9\). Un billet coûte 9 €. Vérification : \(3 \times 9 + 2 = 29\).

6 Avec des nombres négatifs ★★★

a) On divise par \(-3\) : \(x = -6\).

b) \(x = 1 - 6 = -5\).

c) \(-x = 1 - 4 = -3\), donc \(x = 3\).

d) \(2x = 3 - 9 = -6\), donc \(x = -3\).

7 La balance ★★★

a) Les deux plateaux sont équilibrés : \(x + 5 + 5 = 40\), soit \(x + 10 = 40\).

b) On retranche \(10\) aux deux membres : \(x = 30\). Le sac a une masse de 30 g. Vérification : \(30 + 10 = 40\).

8 Regrouper les x ★★★

a) \(5x - 2x = 12 + 3\), \(3x = 15\), \(x = 5\).

b) \(9x - 4x = 34 - 4\), \(5x = 30\), \(x = 6\).

c) \(6x - 8x = 3 + 7\), \(-2x = 10\), \(x = -5\).

d) \(3 + 9 = 2x + 4x\), \(12 = 6x\), \(x = 2\).

Vérification de d) : \(3 - 4 \times 2 = -5\) et \(2 \times 2 - 9 = -5\).

9 Développer puis résoudre ★★★

a) \(3x + 6 = 21\), \(3x = 15\), \(x = 5\).

b) \(6x - 2 = 4x + 10\), \(2x = 12\), \(x = 6\).

c) \(5x - 10 = 3x + 12\), \(2x = 22\), \(x = 11\).

d) \(8x + 4 - 3 = 25\), \(8x + 1 = 25\), \(8x = 24\), \(x = 3\).

10 Le jardin rectangulaire ★★★

Soit \(x\) la largeur en mètres. La longueur est \(x + 5\). Le périmètre vaut \(2(x + x + 5) = 46\), soit \(4x + 10 = 46\).

\(4x = 36\), donc \(x = 9\). La longueur est \(9 + 5 = 14\).

Le jardin mesure 14 m sur 9 m. Vérification : \(2 \times (14 + 9) = 46\).

11 Avec des fractions ★★★

a) \(\dfrac{x}{2} = 6\), donc \(x = 12\).

b) On multiplie par \(4\) : \(3x = 60\), donc \(x = 20\).

c) On multiplie les deux membres par \(4\) : \(2x - 12 = x + 4\), donc \(x = 16\). Vérification : \(\dfrac{16}{2} - 3 = 5\) et \(\dfrac{16}{4} + 1 = 5\).

12 Où est l’erreur ? ★★★

a) Pour \(x = -2\) : à gauche \(3 \times (-2) + 5 = -1\), à droite \(2 \times (-2) - 7 = -11\). Ces valeurs sont différentes.

b) Hugo a ajouté \(5\) au lieu de le retrancher du second membre : il fallait écrire \(3x - 2x = -7 - 5\). Donc \(x = -12\).

Vérification : \(3 \times (-12) + 5 = -31\) et \(2 \times (-12) - 7 = -31\).

13 Les âges ★★★

Soit \(x\) l’âge de la sœur. Karim a \(4x\) ans. Dans \(6\) ans : \(4x + 6\) pour Karim et \(x + 6\) pour sa sœur.

\(4x + 6 = 2(x + 6)\), soit \(4x + 6 = 2x + 12\), donc \(2x = 6\) et \(x = 3\).

La sœur a 3 ans et Karim 12 ans. Vérification : dans \(6\) ans, \(18 = 2 \times 9\).

14 Le nombre mystère ★★★

Soit \(x\) le nombre : \(3x + 8 = x + 20\). Donc \(2x = 12\) et \(x = 6\).

Vérification : \(3 \times 6 + 8 = 26\) et \(6 + 20 = 26\). Le nombre est 6.

15 Des parenthèses plus délicates ★★★

a) On développe : \(6x - 3 - 2x - 8 = 5x - 9\), soit \(4x - 11 = 5x - 9\). Donc \(-x = 2\) et \(x = -2\). Vérification : à gauche \(3 \times (-5) - 2 \times 2 = -19\), à droite \(5 \times (-2) - 9 = -19\).

b) À gauche : \(7 - 6 + 2x = 1 + 2x\). À droite : \(4x + 4 + 3 = 4x + 7\). Donc \(1 + 2x = 4x + 7\), \(-6 = 2x\), \(x = -3\). Vérification : \(7 - 2 \times 6 = -5\) et \(4 \times (-2) + 3 = -5\).

16 Sans solution ou toujours vraie ★★★

a) \(2x + 6 = 2x + 5\) donne \(6 = 5\), impossible : aucune solution.

b) \(3x + 3 = 3x + 3\) est toujours vrai : tous les nombres sont solutions (une infinité).

c) \(5x - x = 2 - 2\), \(4x = 0\), donc \(x = 0\) : une seule solution, \(0\).

17 Le périmètre du triangle ★★★

a) Le périmètre est \(x + 4 + x + 2x - 1 = 4x + 3\). Donc \(4x + 3 = 39\), \(4x = 36\), \(x = 9\).

b) \(AB = 13\) cm, \(AC = 9\) cm, \(BC = 17\) cm. Somme : \(13 + 9 + 17 = 39\). Le plus grand côté est \(17\) et \(13 + 9 = 22 > 17\) : le triangle existe.

18 Un trajet en trois temps ★★★

Soit \(x\) la longueur en kilomètres : \(\dfrac{x}{2} + \dfrac{x}{3} + 4 = x\). On multiplie par \(6\) : \(3x + 2x + 24 = 6x\), donc \(24 = x\).

Le trajet fait 24 km. Vérification : \(12 + 8 + 4 = 24\).

19 Premières inéquations ★★★

a) \(3x > 15\), donc \(x > 5\).

b) \(-2x \geq 6\). On divise par \(-2\) et on change le sens : \(x \leq -3\).

c) \(4x - 4 \leq 2x + 6\), \(2x \leq 10\), donc \(x \leq 5\).

20 Deux salles de sport ★★★

a) Salle A : \(30 + 2x\). Salle B : \(12 + 5x\).

b) Les droites se croisent au point \(I\) d’abscisse \(6\), d’ordonnée \(42\). Par le calcul : \(30 + 2x = 12 + 5x\), donc \(18 = 3x\) et \(x = 6\). Pour 6 séances, les deux salles coûtent \(42\) €.

c) \(12 + 5x < 30 + 2x\), donc \(3x < 18\) et \(x < 6\). La salle B est moins chère pour moins de 6 séances.