Théorème de Thalès : corrigé du contrôle de maths 3ème à télécharger en PDF

1 Calculer des longueurs / 4 pts

Les droites \((MN)\) et \((BC)\) sont parallèles, \(M \in (AB)\) et \(N \in (AC)\) : d’après le théorème de Thalès (1 pt), \(\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AC} = \dfrac{MN}{BC}\), soit \(\dfrac{6}{9} = \dfrac{8}{AC} = \dfrac{10}{BC}\) (1 pt).

\(AC = \dfrac{8 \times 9}{6} = 12\) cm (1 pt) et \(BC = \dfrac{10 \times 9}{6} = 15\) cm (1 pt).

2 Le papillon / 4 pts

\((EF) \parallel (GH)\) et les droites \((EG)\), \((FH)\) sont sécantes en \(O\) : d’après le théorème de Thalès (1 pt), \(\dfrac{OE}{OG} = \dfrac{OF}{OH} = \dfrac{EF}{GH}\), soit \(\dfrac{4{,}5}{7{,}5} = \dfrac{6}{OH} = \dfrac{5{,}4}{GH}\) (1 pt).

Le rapport vaut \(\dfrac{4{,}5}{7{,}5} = 0{,}6\). \(OH = \dfrac{6 \times 7{,}5}{4{,}5} = 10\) cm (1 pt) et \(GH = \dfrac{5{,}4 \times 7{,}5}{4{,}5} = 9\) cm (1 pt).

3 Parallèles ou non ? / 4 pts

1. \(\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{2{,}8}{7} = 0{,}4\) et \(\dfrac{AN}{AC} = \dfrac{3{,}6}{9} = 0{,}4\) (1 pt). Les quotients sont égaux et les points sont alignés dans le même ordre : d’après la réciproque du théorème de Thalès, \((MN) \parallel (BC)\) (1 pt).
2. \(\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{4{,}5}{10}\) et \(\dfrac{AN}{AC} = \dfrac{3}{7}\). Produits en croix : \(4{,}5 \times 7 = 31{,}5\) et \(3 \times 10 = 30\) (1 pt). Comme \(31{,}5 \neq 30\), d’après la contraposée du théorème de Thalès, \((MN)\) et \((BC)\) ne sont pas parallèles (1 pt).

4 La hauteur du clocher / 3 pts

Le bâton \([MN]\) et le clocher \([BC]\) sont verticaux, donc \((MN) \parallel (BC)\), avec \(A, M, B\) alignés et \(A, N, C\) alignés (1 pt). D’après le théorème de Thalès : \(\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{MN}{BC}\), soit \(\dfrac{1{,}8}{21{,}6} = \dfrac{1{,}2}{BC}\) (1 pt).

\(BC = \dfrac{1{,}2 \times 21{,}6}{1{,}8} = 14{,}4\). Le clocher mesure \(14{,}4\) m de haut (1 pt).

5 Agrandissement et échelle / 3 pts

1. \(12 \times 1{,}5 = 18\) et \(18 \times 1{,}5 = 27\) : l’agrandissement mesure \(18\) cm sur \(27\) cm (1 pt).
2. Aire initiale : \(12 \times 18 = 216\) cm². Aire finale : \(18 \times 27 = 486\) cm², soit \(216 \times 1{,}5^2 = 216 \times 2{,}25 = 486\) cm² (1 pt).
3. Les volumes sont multipliés par \(k^3 = \left(\dfrac{1}{10}\right)^3 = \dfrac{1}{1\,000}\) : \(30 \div 1\,000 = 0{,}03\) m³, soit \(30\) L (1 pt).

6 Trouve l’erreur / 2 pts

L’élève compare un quotient « petit sur grand » (\(\dfrac{AM}{AB}\)) à un quotient « petit sur morceau » : \(NC\) n’est pas la longueur du grand côté, c’est seulement une partie de \([AC]\) (1 pt).

L’égalité correcte est \(\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AC}\), avec \(AC = AN + NC\) (1 pt).