Puissances et notation scientifique : exercices corrigés de maths 3ème à télécharger en PDF

1 Calculer des puissances ★★★

a) \(2^5 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 32\) ; b) \(3^4 = 81\) ; c) \(10^3 = 1000\).

d) \((-2)^3 = -8\) : l’exposant est impair, le résultat est négatif. e) \((-3)^2 = 9\) : exposant pair, résultat positif. f) \((-2)^4 = 16\).

2 Écrire avec un exposant ★★★

a) \(7^4 = 2401\) ; b) \(5^3 = 125\) ; c) \((-4)^3 = -64\) ; d) \((0{,}1)^2 = 0{,}01\).

On compte les facteurs pour trouver l’exposant : quatre facteurs \(7\), trois facteurs \(5\), trois facteurs \((-4)\), deux facteurs \(0{,}1\).

3 Exposants négatifs ★★★

On utilise \(a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}\).

a) \(2^{-1} = \dfrac{1}{2}\) ; b) \(10^{-2} = \dfrac{1}{100} = 0{,}01\) ; c) \(3^{-2} = \dfrac{1}{9}\) ; d) \(5^{-3} = \dfrac{1}{125}\) ; e) \(4^{-2} = \dfrac{1}{16}\).

4 Puissances de 10 en écriture décimale ★★★

a) \(10^4 = 10\,000\) ; b) \(10^{-1} = 0{,}1\) ; c) \(10^{-5} = 0{,}00001\) (le \(1\) est au cinquième rang après la virgule) ; d) \(10^0 = 1\) ; e) \(10^6 = 1\,000\,000\).

5 Produits de puissances ★★★

On additionne les exposants.

a) \(3^{4+2} = 3^6\) ; b) \(5^{7 + (-3)} = 5^4\) ; c) \(10^{5 + (-8)} = 10^{-3}\) ; d) \(a^{2+5} = a^7\).

6 Quotients de puissances ★★★

On soustrait les exposants.

a) \(7^{9-6} = 7^3\) ; b) \(10^{3-7} = 10^{-4}\) ; c) \(4^{5-5} = 4^0 = 1\) ; d) \(2^{-1-3} = 2^{-4}\).

7 Notation scientifique ou pas ? ★★★

Il faut un facteur \(a\) vérifiant \(1 \leqslant a < 10\).

a) Oui, \(a = 3{,}2\). b) Non, \(32\) est supérieur à \(10\). c) Non, \(0{,}5\) est inférieur à \(1\). d) Oui, \(a = 7\). e) Non, \(10\) n’est pas strictement inférieur à \(10\).

8 Puissance d’une puissance ★★★

On multiplie les exposants.

a) \(2^{3 \times 2} = 2^6 = 64\) ; b) \(5^{-3} = \dfrac{1}{125}\) ; c) \(10^{4 \times (-2)} = 10^{-8}\) ; d) \(a^{20}\).

9 Vers la notation scientifique ★★★

a) La virgule recule de \(4\) rangs : \(4{,}5 \times 10^4\).

b) La virgule avance de \(4\) rangs : \(7{,}2 \times 10^{-4}\).

c) \(380\) millions \(= 380\,000\,000 = 3{,}8 \times 10^8\).

d) \(0{,}06 = 6 \times 10^{-2}\).

10 Retour à l’écriture décimale ★★★

a) La virgule avance de \(5\) rangs : \(630\,000\). b) La virgule recule de \(3\) rangs : \(0{,}00125\). c) \(0{,}9\). d) \(204\).

11 Produit de nombres en notation scientifique ★★★

a) \((4 \times 2) \times 10^{3+5} = 8 \times 10^8\).

b) \((6 \times 5) \times 10^{-2+4} = 30 \times 10^2\). Comme \(30\) n’est pas entre \(1\) et \(10\), on écrit \(30 \times 10^2 = 3 \times 10^3\).

12 Vrai ou faux ? ★★★

a) Faux : on additionne les exposants, \(2^3 \times 2^4 = 2^7 = 128\), et \(2^{12} = 4096\).

b) Vrai : \((2^3)^2 = 2^{3 \times 2} = 2^6 = 64\).

c) Faux : \(2^3 + 2^3 = 8 + 8 = 16 = 2^4\), alors que \(2^6 = 64\).

d) Faux : \((-3)^2 = (-3) \times (-3) = 9\).

13 Les levures ★★★

1. Après \(n\) heures, il y a \(3 \times 2^n\) cellules. Pour \(n = 8\) : \(3 \times 2^8 = 3 \times 256 = 768\) cellules.
2. À \(8\) heures, \(768 < 1000\). À \(9\) heures, \(3 \times 2^9 = 3 \times 512 = 1536 > 1000\). C’est donc au bout de \(9\) heures que l’on dépasse \(1\,000\) cellules.

14 Quotient en notation scientifique ★★★

a) \(\dfrac{9}{3} \times 10^{7-3} = 3 \times 10^4\).

b) \(\dfrac{1{,}2}{4} \times 10^{-3-2} = 0{,}3 \times 10^{-5}\). Comme \(0{,}3\) est inférieur à \(1\), on écrit \(0{,}3 \times 10^{-5} = 3 \times 10^{-1} \times 10^{-5} = 3 \times 10^{-6}\).

15 La lumière du Soleil ★★★

Temps \(= \dfrac{\text{distance}}{\text{vitesse}} = \dfrac{1{,}5 \times 10^{11}}{3 \times 10^8} = 0{,}5 \times 10^{3} = 500\) s.

Or \(500 = 8 \times 60 + 20\) : la lumière met \(500\) s, soit \(8\) min \(20\) s.

16 Calculs combinés ★★★

a) \(A = (2{,}5 \times 4) \times 10^{-3+6} = 10 \times 10^3 = 10^4 = 1 \times 10^4\).

b) \(B = \dfrac{7{,}2}{1{,}8} \times 10^{5 - (-2)} = 4 \times 10^7\).

17 Le disque dur ★★★

Nombre de photos \(= \dfrac{2 \times 10^{12}}{4 \times 10^6} = 0{,}5 \times 10^6 = 5 \times 10^5\).

On peut donc enregistrer \(500\,000\) photos.

18 Grains de sable ★★★

1. \(1\) km \(= 10^3\) m. Nombre de grains \(= \dfrac{10^3}{5 \times 10^{-4}} = \dfrac{1}{5} \times 10^{3+4} = 0{,}2 \times 10^7 = 2 \times 10^6\).
2. Comme \(2 < 5\), l’ordre de grandeur est \(10^6\) : il faut environ un million de grains.

19 Simplifier des expressions ★★★

a) \(A = \dfrac{3^{5-2}}{3^4} = \dfrac{3^3}{3^4} = 3^{-1} = \dfrac{1}{3}\).

b) \(2^3 \times 5^3 = 10^3\), donc \(B = \dfrac{10^3}{10^2} = 10\).

c) On ramène à la base \(2\) : \(4^2 = (2^2)^2 = 2^4\), donc \(C = 2^4 \times 2^5 = 2^9 = 512\).

20 L’échiquier de riz ★★★

1. Sur la case \(n\), il y a \(2^{n-1}\) grains (case \(1\) : \(2^0 = 1\)).
2. Case \(11\) : \(2^{10} = 1024\) grains.
3. \(1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 = 63\) grains, soit \(2^6 - 1\).
4. Case \(31\) : \(2^{30} = (2^{10})^3 = 1024^3 \approx 1{,}07 \times 10^9\). Comme \(1{,}07 < 5\), l’ordre de grandeur est \(10^9\) : environ un milliard de grains.