Calcul littéral et identités : exercices corrigés de maths 2de à télécharger en PDF

1 Réduire des expressions ★★★

\(A = (3x - x) + (5 + 2) = 2x + 7\).

\(B = (4x^2 + x^2) + (-7x + 2x) = 5x^2 - 5x\).

\(C = 6x - 8 + 5x = 11x - 8\).

2 Distributivité simple ★★★

\(4(2x - 5) = 8x - 20\) ; \(-3(x + 6) = -3x - 18\) ; \(x(x - 7) = x^2 - 7x\) ; \(-2x(3x - 1) = -6x^2 + 2x\).

3 Vrai ou faux ? ★★★

1. Vraie (distributivité).
2. Fausse : pour \(x = 1\), \((1 + 4)^2 = 25\) et \(1^2 + 16 = 17\). Il manque le double produit \(8x\).
3. Vraie (différence de deux carrés).
4. Fausse : pour \(x = 2\), \(3 \times 2 + 5 \times 2 = 16\) et \(8 \times 2^2 = 32\). En fait \(3x + 5x = 8x\).

4 Double distributivité ★★★

\((x + 3)(x + 5) = x^2 + 5x + 3x + 15 = x^2 + 8x + 15\).

\((x - 2)(x + 6) = x^2 + 6x - 2x - 12 = x^2 + 4x - 12\).

\((2x + 1)(x - 3) = 2x^2 - 6x + x - 3 = 2x^2 - 5x - 3\).

5 Identités directes ★★★

\((x + 7)^2 = x^2 + 14x + 49\) ; \((x - 5)^2 = x^2 - 10x + 25\) ; \((x - 6)(x + 6) = x^2 - 36\).

6 Facteur commun ★★★

\(6x + 9 = 3(2x + 3)\) ; \(x^2 - 5x = x(x - 5)\) ; \(12x^2 + 8x = 4x(3x + 2)\).

7 Aire et périmètre ★★★

1. \(\mathcal{A} = (x + 4)(x + 1) = x^2 + x + 4x + 4 = x^2 + 5x + 4\).
2. \(\mathcal{P} = 2\big[(x + 4) + (x + 1)\big] = 2(2x + 5) = 4x + 10\).
3. Pour \(x = 6\) : côtés \(10\) et \(7\), aire \(70\) m² et \(36 + 30 + 4 = 70\) ; périmètre \(34\) m et \(4 \times 6 + 10 = 34\).

8 Identités avec coefficients ★★★

\((3x - 4)^2 = 9x^2 - 24x + 16\).

\((2x + 5)(2x - 5) = 4x^2 - 25\).

\((-x + 3)^2 = x^2 - 6x + 9\).

\((5x + 1)^2 = 25x^2 + 10x + 1\).

9 Développer puis réduire ★★★

\((x + 2)^2 = x^2 + 4x + 4\) et \((x - 1)(x + 3) = x^2 + 3x - x - 3 = x^2 + 2x - 3\).

Donc \((x + 2)^2 - (x - 1)(x + 3) = x^2 + 4x + 4 - x^2 - 2x + 3 = 2x + 7\).

10 Développer puis factoriser ★★★

1. \(B = 3(x^2 - 4x + 4) - 12 = 3x^2 - 12x + 12 - 12 = 3x^2 - 12x\).
2. \(B = 3x(x - 4)\).

11 Reconnaître une identité ★★★

\(x^2 + 12x + 36 = x^2 + 2 \times x \times 6 + 6^2 = (x + 6)^2\).

\(49 - x^2 = 7^2 - x^2 = (7 - x)(7 + x)\).

\(4x^2 - 20x + 25 = (2x)^2 - 2 \times 2x \times 5 + 5^2 = (2x - 5)^2\).

12 Facteurs en parenthèses ★★★

\(C = (2x + 1)\big[(x - 3) + (4x + 5)\big] = (2x + 1)(5x + 2)\).

\(D = (x - 5)^2 - 3^2 = (x - 5 - 3)(x - 5 + 3) = (x - 8)(x - 2)\).

13 Calcul mental malin ★★★

\(51^2 = (50 + 1)^2 = 2500 + 100 + 1 = 2601\).

\(49^2 = (50 - 1)^2 = 2500 - 100 + 1 = 2401\).

\(63 \times 57 = (60 + 3)(60 - 3) = 3600 - 9 = 3591\).

\(102^2 = (100 + 2)^2 = 10000 + 400 + 4 = 10404\).

14 Le potager qui s’agrandit ★★★

1. Nouvelle aire \((x + 3)^2 = x^2 + 6x + 9\), ancienne aire \(x^2\) : le gain est \(6x + 9\) m² (c’est la somme des deux bandes \(3x\) et du coin \(9\)).
2. Pour \(x = 7\) : \(6 \times 7 + 9 = 51\) m². Contrôle : \(10^2 - 7^2 = 100 - 49 = 51\).
3. \(6x + 9 = 63\) donne \(6x = 54\), donc \(x = 9\) : le potager initial mesure \(9\) m de côté.

15 Deux fractions ★★★

Dénominateur commun : \(x(x + 1)\).

\(\dfrac{2}{x} + \dfrac{3}{x + 1} = \dfrac{2(x + 1)}{x(x + 1)} + \dfrac{3x}{x(x + 1)} = \dfrac{2x + 2 + 3x}{x(x + 1)} = \dfrac{5x + 2}{x(x + 1)}\).

16 Une différence de fractions ★★★

\(\dfrac{1}{x - 2} - \dfrac{1}{x + 2} = \dfrac{(x + 2) - (x - 2)}{(x - 2)(x + 2)} = \dfrac{x + 2 - x + 2}{(x - 2)(x + 2)} = \dfrac{4}{x^2 - 4}\), car \((x - 2)(x + 2) = x^2 - 4\).

17 Simplifier une fraction ★★★

Numérateur : \(x^2 - 4x + 4 = (x - 2)^2\). Dénominateur : \(x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)\).

Comme \(x - 2 \neq 0\), on simplifie : \(\dfrac{(x - 2)^2}{(x - 2)(x + 2)} = \dfrac{x - 2}{x + 2}\).

18 Trois formes pour g ★★★

1. \((x - 4)^2 - 9 = x^2 - 8x + 16 - 9 = x^2 - 8x + 7 = g(x)\).
2. \(g(x) = (x - 4)^2 - 3^2 = (x - 4 - 3)(x - 4 + 3) = (x - 7)(x - 1)\). Un produit est nul si l’un de ses facteurs l’est : \(x = 7\) ou \(x = 1\).
3. Un carré est positif ou nul, donc \((x - 4)^2 \geq 0\) et \(g(x) \geq -9\), avec égalité pour \(x = 4\). Le minimum de \(g\) est \(-9\), atteint en \(x = 4\).

19 Choisir la bonne forme ★★★

1. (A) développée : \((x - 3)^2 - 4 = x^2 - 6x + 9 - 4 = x^2 - 6x + 5\), c’est (B). Puis (A) = \((x - 3)^2 - 2^2 = (x - 5)(x - 1)\), c’est (C).
2. \(f(0)\) : la forme (B) donne \(f(0) = 5\). \(f(x) = 0\) : la forme (C) donne \(x = 1\) ou \(x = 5\). \(f(3)\) : la forme (A) donne \(f(3) = 0 - 4 = -4\).

20 L’enclos ★★★

1. Le demi-périmètre vaut \(20\) m, donc l’autre côté mesure \(20 - x\) et \(\mathcal{A}(x) = x(20 - x) = 20x - x^2\).
2. \(100 - (x - 10)^2 = 100 - (x^2 - 20x + 100) = -x^2 + 20x = \mathcal{A}(x)\).
3. Comme \((x - 10)^2 \geq 0\), on a \(\mathcal{A}(x) \leq 100\), avec égalité pour \(x = 10\). L’aire maximale est \(100\) m² : l’enclos est un carré de \(10\) m de côté.

21 Une différence de carrés consécutifs ★★★

1. \((n + 1)^2 - (n - 1)^2 = (n^2 + 2n + 1) - (n^2 - 2n + 1) = 4n\). (On peut aussi écrire \(\big[(n + 1) - (n - 1)\big]\big[(n + 1) + (n - 1)\big] = 2 \times 2n\).)
2. Avec \(n = 25\) : \(26^2 - 24^2 = 4 \times 25 = 100\). Contrôle : \(676 - 576 = 100\).