Combinatoire et dénombrement : exercices corrigés de maths Terminale à télécharger en PDF

1 Tenues du matin ★★★

Trois choix successifs, indépendants : \(5\) hauts, \(4\) pantalons, \(3\) paires. D’après le principe multiplicatif, \(5 \times 4 \times 3 = 60\).

Léa peut composer 60 tenues différentes.

2 Codes de cadenas ★★★

1. Un code est une 4-liste de \(\{0, \dots, 9\}\) : \(10^4 = 10\,000\) codes.
2. Il faut un arrangement de 4 chiffres parmi 10 : \(10 \times 9 \times 8 \times 7 = 5\,040\) codes.

10 000 codes au total, dont 5 040 à chiffres tous différents.

3 Calculs de base ★★★

\(5! = 120\).

\(\dfrac{7!}{5!} = 7 \times 6 = 42\).

\(\binom{6}{2} = \dfrac{6 \times 5}{2} = 15\).

\(\binom{8}{3} = \dfrac{8 \times 7 \times 6}{6} = 56\).

\(\binom{9}{9} = 1\) et \(\binom{9}{1} = 9\).

4 Livres sur une étagère ★★★

1. Ce sont les permutations de 6 objets : \(6! = 720\).
2. On considère les deux livres de maths comme un seul bloc : il y a alors 5 objets à ranger, soit \(5! = 120\) façons, puis 2 ordres possibles à l’intérieur du bloc : \(120 \times 2 = 240\).

720 rangements, dont 240 avec les deux livres de maths voisins.

5 Vrai ou faux ? ★★★

1. Vrai : symétrie, car \(9 - 4 = 5\) (les deux valent \(126\)).
2. Faux : par convention \(0! = 1\).
3. Vrai : c’est la définition de la factorielle, \((n+1)! = (n+1) \times n!\).
4. Faux : \(\binom{8}{2} = 28\) alors que \(\binom{8}{4} = 70\). La symétrie donnerait \(\binom{8}{2} = \binom{8}{6}\).

6 Un comité ★★★

1. L’ordre ne compte pas : \(\binom{10}{3} = \dfrac{10 \times 9 \times 8}{6} = 120\).
2. Les rôles sont distincts, l’ordre compte : arrangements de 3 parmi 10, \(10 \times 9 \times 8 = 720\). (On retrouve \(120 \times 3! = 720\).)

120 comités, 720 façons d’attribuer les trois fonctions.

7 Parties d’un petit ensemble ★★★

1. \(2^5 = 32\) parties.
2. \(\binom{5}{2} = 10\) parties.
3. La partie vide (\(\binom{5}{0} = 1\)) et les parties à 1 élément (\(\binom{5}{1} = 5\)) : \(1 + 5 = 6\) parties.

8 Mots de passe ★★★

1. Les lettres forment une 3-liste de 26 lettres : \(26^3 = 17\,576\) ; les chiffres, une 2-liste de 10 chiffres : \(10^2 = 100\). Total : \(17\,576 \times 100 = 1\,757\,600\).
2. Les lettres forment un arrangement : \(26 \times 25 \times 24 = 15\,600\). Total : \(15\,600 \times 100 = 1\,560\,000\).

1 757 600 mots de passe avec répétition possible, 1 560 000 avec trois lettres distinctes.

9 Championnat à huit équipes ★★★

1. Un match est une paire d’équipes (l’ordre ne compte pas) : \(\binom{8}{2} = \dfrac{8 \times 7}{2} = 28\).
2. Chaque rencontre est jouée deux fois : \(2 \times 28 = 56\) (ce sont les arrangements de 2 équipes parmi 8 : \(8 \times 7 = 56\)).

28 matchs, ou 56 avec aller-retour.

10 Main de cartes ★★★

1. Les mains sont des combinaisons : \(\binom{32}{5} = 201\,376\).
2. On choisit 2 cœurs parmi 8 et 3 cartes parmi les 24 non-cœurs : \(\binom{8}{2} \times \binom{24}{3} = 28 \times 2\,024 = 56\,672\).
3. Passons par le contraire : les mains sans as se choisissent parmi les 28 autres cartes, \(\binom{28}{5} = 98\,280\). Donc \(201\,376 - 98\,280 = 103\,096\) mains avec au moins un as.

11 Podium d’une course ★★★

1. Arrangements de 3 parmi 12 : \(12 \times 11 \times 10 = 1\,320\).
2. Léa est fixée en tête ; les deux autres places : \(11 \times 10 = 110\).
3. Léa peut occuper 3 places différentes, et pour chacune il reste \(11 \times 10 = 110\) façons de remplir les deux autres : \(3 \times 110 = 330\).

12 Développement avec les binomiaux ★★★

\((x+2)^4 = \sum_{k=0}^{4} \binom{4}{k} x^{4-k} 2^k\), avec \(\binom{4}{k} = 1, 4, 6, 4, 1\) :

\((x+2)^4 = x^4 + 4 \times 2\,x^3 + 6 \times 4\,x^2 + 4 \times 8\,x + 16 = x^4 + 8x^3 + 24x^2 + 32x + 16\).

Pour \(x = 1\) : \(1 + 8 + 24 + 32 + 16 = 81 = 3^4\), ce qui correspond bien à \((1+2)^4\).

13 Équipe mixte ★★★

1. \(\binom{12}{5} = 792\).
2. 3 filles parmi 7 et 2 garçons parmi 5 : \(\binom{7}{3} \times \binom{5}{2} = 35 \times 10 = 350\).
3. Le contraire de « au moins un garçon » est « aucun garçon », c’est-à-dire 5 filles parmi 7 : \(\binom{7}{5} = 21\). Donc \(792 - 21 = 771\) délégations.

14 Anagrammes ★★★

1. Les 5 lettres sont distinctes : \(5! = 120\).
2. On choisit les 2 places des L parmi 6 : \(\binom{6}{2} = 15\). Il reste 4 places pour les lettres B, A, O, N, toutes différentes : \(4! = 24\). Total : \(15 \times 24 = 360\).

(Remarque : \(6!/2! = 360\) donne le même résultat, on divise par les 2 façons d’échanger les L.)

15 Démontrer la relation de Pascal ★★★

1. On a \(\binom{n}{k} = \dfrac{n!}{k!\,(n-k)!}\) et \(\binom{n}{k+1} = \dfrac{n!}{(k+1)!\,(n-k-1)!}\). Mettons au dénominateur commun \((k+1)!\,(n-k)!\) : \[\binom{n}{k} + \binom{n}{k+1} = \dfrac{n!\,(k+1) + n!\,(n-k)}{(k+1)!\,(n-k)!} = \dfrac{n!\,(n+1)}{(k+1)!\,(n-k)!} = \dfrac{(n+1)!}{(k+1)!\,\big((n+1)-(k+1)\big)!} = \binom{n+1}{k+1}.\]
2. \(\binom{7}{2} = 21\), \(\binom{7}{3} = 35\) et \(\binom{8}{3} = 56\) ; on a bien \(21 + 35 = 56\).

16 Somme alternée ★★★

1. La ligne 6 est \(1, 6, 15, 20, 15, 6, 1\), de somme \(64 = 2^6\).
2. Directement : \(1 - 6 + 15 - 20 + 15 - 6 + 1 = 0\). Avec le binôme : \((1-1)^6 = \sum \binom{6}{k} 1^{6-k}(-1)^k = 0\), donc la somme alternée vaut \(0\).
3. Notons \(P\) la somme des termes d’indice pair et \(I\) celle des termes d’indice impair. On a \(P + I = 64\) et \(P - I = 0\). Donc \(P = I = 32\) (en effet \(1 + 15 + 15 + 1 = 32\) et \(6 + 20 + 6 = 32\)).

17 Chemins dans un quadrillage ★★★

1. Un chemin comporte \(5\) pas D et \(3\) pas H, soit \(8\) pas. Il est entièrement déterminé par la place des 3 pas H parmi les 8 : \(\binom{8}{3} = 56\) chemins.
2. De \(A\) à \(M\) : 2 D et 1 H, soit \(\binom{3}{1} = 3\) chemins. De \(M\) à \(B\) : 3 D et 2 H, soit \(\binom{5}{2} = 10\) chemins. Par le principe multiplicatif : \(3 \times 10 = 30\) chemins passent par \(M\).
3. \(56 - 30 = 26\) chemins évitent \(M\).

18 Diagonales d’un polygone ★★★

1. Chaque paire de sommets définit un segment : \(\binom{n}{2} = \dfrac{n(n-1)}{2}\) segments. Parmi eux, \(n\) sont des côtés. Il reste \(\dfrac{n(n-1)}{2} - n = \dfrac{n(n-1) - 2n}{2} = \dfrac{n(n-3)}{2}\) diagonales.
2. Pour \(n = 12\) : \(\dfrac{12 \times 9}{2} = 54\).
3. On résout \(\dfrac{n(n-3)}{2} = 90\), soit \(n^2 - 3n - 180 = 0\). Le discriminant est \(9 + 720 = 729 = 27^2\), donc \(n = \dfrac{3 + 27}{2} = 15\) (l’autre racine \(-12\) est négative). C’est un polygone à 15 côtés (\(15 \times 12 / 2 = 90\)).

19 Coefficients cherchés ★★★

1. Le terme général est \(\binom{5}{k}(2x)^{5-k}(-1)^k\). Pour \(x^3\), on prend \(5-k = 3\), soit \(k = 2\) : \(\binom{5}{2} \times 2^3 \times (-1)^2 = 10 \times 8 = 80\).
2. Terme général \(\binom{5}{k}(3x)^{5-k}(-2)^k\). Pour \(x^2\), \(k = 3\) : \(\binom{5}{3} \times 3^2 \times (-2)^3 = 10 \times 9 \times (-8) = -720\).
3. Terme général \(\binom{6}{k} x^{6-k} \left(\dfrac{1}{x}\right)^k = \binom{6}{k} x^{6-2k}\). Il est constant lorsque \(6 - 2k = 0\), soit \(k = 3\) : \(\binom{6}{3} = 20\).

20 Messages binaires ★★★

1. 6-listes de \(\{0, 1\}\) : \(2^6 = 64\).
2. On choisit les positions des deux 1 : \(\binom{6}{2} = 15\).
3. Le contraire est « 0 ou 1 bit à 1 » : \(1 + 6 = 7\) messages. Donc \(64 - 7 = 57\).
4. 0, 1 ou 2 bits à 1 : \(1 + 6 + 15 = 22\).

21 Parties d’un ensemble à dix éléments ★★★

1. Pour chacun des 9 autres éléments, on choisit s’il est dans la partie ou non : \(2^9 = 512\) parties.
2. On met \(a\) dans la partie, puis on choisit 2 autres éléments parmi 9 : \(\binom{9}{2} = 36\).
3. La somme alternée \(\sum_{k=0}^{10} (-1)^k \binom{10}{k} = (1-1)^{10} = 0\) montre que les coefficients d’indice pair et impair ont la même somme. Comme le total est \(2^{10} = 1\,024\), chacun vaut \(512\). Vérification : \(1 + 45 + 210 + 210 + 45 + 1 = 512\).