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Suites réelles et complexes : exercices corrigés de maths Maths Sup à télécharger en PDF

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Exercices corrigés de maths en Maths Sup : Suites réelles et complexes — Zyro, l’explorateur de Planète Maths

Corrigés rédigés des exercices du chapitre. Vérifie chaque étape, puis corrige-toi.

1 Un rang à partir duquel c’est proche ★★★

  1. \(u_n - 4 = \dfrac{4n-3-4(n+5)}{n+5} = \dfrac{-23}{n+5}\).
  2. Donc \(|u_n - 4| = \dfrac{23}{n+5}\), qui tend vers \(0\) : \(u_n \to 4\).
  3. \(\dfrac{23}{n+5} \lt 0{,}01 \iff n + 5 \gt 2300 \iff n \gt 2295\). Pour \(n = 2295\), on obtient exactement \(0{,}01\), qui n’est pas strictement inférieur. Le plus petit rang est donc \(N = 2296\).

2 Quatre limites à calculer ★★★

  1. On factorise \(n^2\) : \(a_n = \dfrac{5 - 1/n + 2/n^2}{2 + 3/n^2} \to \dfrac{5}{2}\).
  2. Par quantité conjuguée, \(b_n = \dfrac{3}{\sqrt{n+3}+\sqrt{n}} \to 0\).
  3. \(|c_n| = \dfrac{1}{n+1} \to 0\), donc \(c_n \to 0\).
  4. \(d_n = n^3(1 - 4/n)\) avec \(n^3 \to +\infty\) et \(1 - 4/n \to 1\) : \(d_n \to +\infty\).

3 Vrai ou faux ? ★★★

  1. Faux : \(((-1)^n)\) est bornée par \(1\) mais diverge.
  2. Vrai : si \(u_n \to \ell\), à partir d’un rang \(N\) on a \(|u_n| \leq |\ell| + 1\) ; il reste un nombre fini de termes, donc le maximum de \(|u_0|, \dots, |u_{N-1}|, |\ell|+1\) borne la suite.
  3. Vrai : si \(|v_n| \leq M\), alors \(|u_n v_n| \leq M|u_n| \to 0\) ; on conclut par encadrement.
  4. Faux : \(u_n = 1 - \dfrac{1}{n+1}\) est croissante mais converge vers \(1\).

4 Encadrer pour conclure ★★★

  1. Comme \(|\sin n| \leq 1\), on a \(|p_n| \leq \dfrac{1}{n^2+1}\), qui tend vers \(0\). Donc \(p_n \to 0\).
  2. On a \(-1 \leq (-1)^n \leq 1\), donc \(2 - \dfrac{1}{n} \leq q_n \leq 2 + \dfrac{1}{n}\). Les deux bornes tendent vers \(2\) : \(q_n \to 2\) (théorème d’encadrement).

5 Monotonie et convergence ★★★

  1. \(u_{n+1} - u_n = \dfrac{3(n+1)}{n+3} - \dfrac{3n}{n+2} = 3\,\dfrac{(n+1)(n+2) - n(n+3)}{(n+2)(n+3)} = \dfrac{6}{(n+2)(n+3)} \gt 0\).
  2. \(3 - u_n = \dfrac{3n+6-3n}{n+2} = \dfrac{6}{n+2} \gt 0\).
  3. La suite est croissante et majorée par \(3\) : elle converge. Comme \(3 - u_n = \dfrac{6}{n+2} \to 0\), sa limite est \(3\).

6 Une suite qui explose ★★★

  1. \(u_1 = 11\), \(u_2 = 29\), \(u_3 = 83\), \(u_4 = 245\).
  2. \(\ell = 3\ell - 4\) donne \(\ell = 2\). La suite \(v_n = u_n - 2\) vérifie \(v_{n+1} = 3v_n\) et \(v_0 = 3\), donc \(u_n = 2 + 3 \times 3^n = 2 + 3^{n+1}\). Contrôle : \(u_4 = 2 + 243 = 245\).
  3. Comme \(3^{n+1} \to +\infty\), \(u_n \to +\infty\) (ici \(|a| = 3 \gt 1\) et \(u_0 \neq \ell\)).

7 Une suite complexe simple ★★★

  1. \(\operatorname{Re} z_n = \dfrac{2n+1}{n+2} \to 2\) et \(\operatorname{Im} z_n = \dfrac{(-1)^n}{n} \to 0\).
  2. Les parties réelle et imaginaire convergent : \(z_n \to 2 + 0i = 2\).
  3. \(z_n - 2 = \dfrac{2n+1-2n-4}{n+2} + \dfrac{(-1)^n}{n} i = \dfrac{-3}{n+2} + \dfrac{(-1)^n}{n} i\), donc \(|z_n - 2|^2 = \dfrac{9}{(n+2)^2} + \dfrac{1}{n^2}\), qui tend vers \(0\) : on retrouve \(z_n \to 2\).

8 Tendre vers l’infini par comparaison ★★★

  1. Comme \(\cos n \geq -1\), on a \(u_n \geq n - 5\). Or \(n - 5 \to +\infty\), donc \(u_n \to +\infty\) par minoration.
  2. \(v_n = 3^n\left(1 - \left(\dfrac{2}{3}\right)^n\right)\). Pour \(n \geq 1\), \(\left(\dfrac{2}{3}\right)^n \leq \dfrac{2}{3}\), donc \(1 - \left(\dfrac{2}{3}\right)^n \geq \dfrac{1}{3}\) et \(v_n \geq 3^{n-1} \to +\infty\). Donc \(v_n \to +\infty\).

9 Une somme prise en sandwich ★★★

  1. Pour \(1 \leq k \leq n\), \(n^2 + 1 \leq n^2 + k \leq n^2 + n\), d’où \(\dfrac{k}{n^2+n} \leq \dfrac{k}{n^2+k} \leq \dfrac{k}{n^2+1}\).
  2. On somme, avec \(\displaystyle\sum_{k=1}^{n} k = \dfrac{n(n+1)}{2}\) : \(\dfrac{n(n+1)}{2(n^2+n)} \leq S_n \leq \dfrac{n(n+1)}{2(n^2+1)}\). Le membre de gauche vaut exactement \(\dfrac{1}{2}\) ; celui de droite vaut \(\dfrac{1}{2} \times \dfrac{1 + 1/n}{1 + 1/n^2} \to \dfrac{1}{2}\). Par encadrement, \(S_n \to \dfrac{1}{2}\).

10 Suites adjacentes par alternance ★★★

  1. \(a_{n+1} - a_n = S_{2n+2} - S_{2n} = \dfrac{1}{2n+1} - \dfrac{1}{2n+2} \gt 0\), et \(b_{n+1} - b_n = S_{2n+3} - S_{2n+1} = -\dfrac{1}{2n+2} + \dfrac{1}{2n+3} \lt 0\).
  2. \(b_n - a_n = S_{2n+1} - S_{2n} = \dfrac{1}{2n+1} \to 0\).
  3. Les suites \((a_n)\) et \((b_n)\) sont adjacentes, donc convergent vers une même limite \(\ell\), et \(a_n \leq \ell \leq b_n\). Avec \(a_1 = S_2 = \dfrac{1}{2}\) et \(b_1 = S_3 = \dfrac{5}{6}\), on obtient \(0{,}5 \leq \ell \leq 0{,}84\). La suite \((S_n)\) converge donc vers \(\ell\) (ses sous-suites paire et impaire ont la même limite).

11 Un point fixe parmi deux ★★★

  1. \(x^2 - 5x + 6 = 0\), soit \((x-2)(x-3) = 0\) : les points fixes sont \(2\) et \(3\).
  2. \(u_0 = 1\) convient. Si \(1 \leq u_n \lt 2\), comme \(x \mapsto \dfrac{x^2+6}{5}\) est croissante sur \([0,+\infty[\), \(\dfrac{7}{5} \leq u_{n+1} \lt \dfrac{4+6}{5} = 2\), donc \(1 \leq u_{n+1} \lt 2\).
  3. \(u_{n+1} - u_n = \dfrac{u_n^2 - 5u_n + 6}{5} = \dfrac{(u_n - 2)(u_n - 3)}{5} \gt 0\) car \(u_n - 2 \lt 0\) et \(u_n - 3 \lt 0\). La suite est croissante et majorée par \(2\) : elle converge vers un point fixe \(\ell \in [1, 2]\). Seul \(2\) convient : \(u_n \to 2\).

12 Équivalents usuels ★★★

  1. \(a_n = n^2\left(1 + \dfrac{3}{n} - \dfrac{1}{n^2}\right) \sim n^2\). Le quotient est équivalent à \(\dfrac{n^2}{2n^2} = \dfrac{1}{2}\), donc sa limite est \(\dfrac{1}{2}\).
  2. \(\sqrt{n+4} - \sqrt{n} = \dfrac{4}{\sqrt{n+4}+\sqrt{n}}\). Le rapport avec \(\dfrac{2}{\sqrt{n}}\) vaut \(\dfrac{2\sqrt{n}}{\sqrt{n+4}+\sqrt{n}} = \dfrac{2}{\sqrt{1+4/n}+1} \to 1\).
  3. \(\sin\dfrac{3}{n} \sim \dfrac{3}{n}\), donc \(n\sin\dfrac{3}{n} \sim 3\) et la limite est \(3\).

13 Une suite arithmético-géométrique et sa précision ★★★

  1. \(\ell = \dfrac{1}{4}\ell + 3\) donne \(\ell = 4\). Avec \(v_n = u_n - 4\), \(v_0 = -8\) et \(v_{n+1} = \dfrac{1}{4}v_n\), d’où \(u_n = 4 - 8\left(\dfrac{1}{4}\right)^n\). Contrôle : \(u_1 = -1 + 3 = 2 = 4 - 2\).
  2. \(\left(\dfrac{1}{4}\right)^n \to 0\), donc \(u_n \to 4\).
  3. \(|u_n - 4| = \dfrac{8}{4^n} \lt 10^{-3} \iff 4^n \gt 8000\). Comme \(4^6 = 4096\) et \(4^7 = 16384\), le premier rang est \(n = 7\).

14 Une suite complexe qui spirale ★★★

  1. \(z_1 = \dfrac{1+i}{2}\times 2 + 1 = 2 + i\). Puis \(z_2 = \dfrac{(1+i)(2+i)}{2} + 1 = \dfrac{1 + 3i}{2} + 1 = \dfrac{3}{2} + \dfrac{3}{2}i\).
  2. \(\ell = \dfrac{1}{1 - \frac{1+i}{2}} = \dfrac{2}{1-i} = \dfrac{2(1+i)}{2} = 1 + i\).
  3. \(z_{n+1} - \ell = \dfrac{1+i}{2}(z_n - \ell)\), et \(\left|\dfrac{1+i}{2}\right| = \dfrac{\sqrt{2}}{2}\). Par récurrence, \(|z_n - \ell| = \left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)^n |1 - i|\). Comme \(\dfrac{\sqrt{2}}{2} \lt 1\), cette quantité tend vers \(0\) : \(z_n \to 1 + i\), ce que montre la spirale de la figure.

15 Somme des carrés et équivalent ★★★

  1. \(n+1 \sim n\) et \(2n+1 \sim 2n\), donc par produit \(S_n \sim \dfrac{n \cdot n \cdot 2n}{6} = \dfrac{n^3}{3}\).
  2. \(\dfrac{S_n}{n^3} \sim \dfrac{1}{3}\), donc \(\dfrac{S_n}{n^3} \to \dfrac{1}{3}\). Puis \(\dfrac{S_n}{n^4} \sim \dfrac{1}{3n} \to 0\).

16 Deux sous-suites, une divergence ★★★

  1. \(|u_n| = 1 + \dfrac{1}{n} \leq 2\).
  2. \(u_{2n} = 1 + \dfrac{1}{2n} \to 1\) et \(u_{2n+1} = -\left(1 + \dfrac{1}{2n+1}\right) \to -1\).
  3. Deux sous-suites ont des limites différentes : \((u_n)\) diverge. Cela ne contredit pas Bolzano-Weierstrass, qui garantit seulement qu’une sous-suite converge : par exemple \((u_{2n})\), qui converge vers \(1\).

17 Une récurrence décroissante ★★★

  1. \(u_1 = \dfrac{1}{2}\), \(u_2 = \dfrac{2}{3}\), \(u_3 = \dfrac{3}{5}\), \(u_4 = \dfrac{5}{8}\), \(u_5 = \dfrac{8}{13}\) (quotients de termes consécutifs de la suite de Fibonacci).
  2. La fonction \(f(x) = \dfrac{1}{1+x}\) est décroissante sur \(\mathbb{R}_+\) et \(f\left([\tfrac{1}{2},1]\right) = [\tfrac{1}{2}, \tfrac{2}{3}] \subset [\tfrac{1}{2},1]\). Comme \(u_0 = 1\) appartient à l’intervalle, tous les termes y restent.
  3. On a \(\ell = \dfrac{1}{1+\ell}\), donc \(u_{n+1} - \ell = \dfrac{1}{1+u_n} - \dfrac{1}{1+\ell} = \dfrac{\ell - u_n}{(1+u_n)(1+\ell)}\). Avec \(u_n \geq \dfrac{1}{2}\) et \(1 + \ell \geq 1{,}6\), le dénominateur dépasse \(1{,}5 \times 1{,}6 = 2{,}4 \gt 2\), d’où \(|u_{n+1} - \ell| \leq \dfrac{1}{2}|u_n - \ell|\). Par récurrence, \(|u_n - \ell| \leq \dfrac{1}{2^n}|u_0 - \ell| \to 0\), donc \(u_n \to \ell \approx 0{,}618\).

18 Limite par équivalents et logarithme ★★★

  1. Comme \(\dfrac{2}{n} \to 0\), on compose l’équivalent usuel avec la suite \(x_n = \dfrac{2}{n}\) : \(\ln(1+x_n) \sim x_n\).
  2. \(\left(1 + \dfrac{2}{n}\right)^n = \exp\left(n\ln\left(1+\dfrac{2}{n}\right)\right)\). Or \(n \ln\left(1+\dfrac{2}{n}\right) \sim n \times \dfrac{2}{n} = 2\), donc cette quantité tend vers \(2\). Par continuité de l’exponentielle, la limite est \(e^2\).
  3. \(\sqrt{n^2+n} - n = \dfrac{n}{\sqrt{n^2+n}+n} = \dfrac{1}{\sqrt{1+1/n}+1} \to \dfrac{1}{2}\).

19 Une récurrence avec second membre variable ★★★

  1. \(u_1 = 2 - 0 + 1 = 3\), \(u_2 = 6 - 1 + 1 = 6\), \(u_3 = 12 - 2 + 1 = 11\).
  2. \(v_{n+1} = u_{n+1} - (n+1) = 2u_n - n + 1 - n - 1 = 2u_n - 2n = 2(u_n - n) = 2v_n\), et \(v_0 = 1\).
  3. \(v_n = 2^n\), donc \(u_n = 2^n + n\). Contrôle : \(u_3 = 8 + 3 = 11\). Comme \(n = o(2^n)\) (croissances comparées), \(u_n \sim 2^n\).

20 Deux moyennes qui se rejoignent ★★★

  1. \(a_1 = 3\), \(b_1 = 5\), \(a_2 = \sqrt{15} \approx 3{,}873\), \(b_2 = 4\).
  2. Par récurrence, \(a_n, b_n \gt 0\). Pour tout \(n\), \(b_{n+1} - a_{n+1} = \dfrac{(\sqrt{b_n}-\sqrt{a_n})^2}{2} \geq 0\) (inégalité entre moyennes), et \(a_0 \leq b_0\) : donc \(a_n \leq b_n\) pour tout \(n\). Alors \(a_{n+1} = \sqrt{a_n b_n} \geq \sqrt{a_n a_n} = a_n\) et \(b_{n+1} = \dfrac{a_n+b_n}{2} \leq \dfrac{b_n + b_n}{2} = b_n\).
  3. \(b_{n+1} - a_{n+1} = \dfrac{(\sqrt{b_n}-\sqrt{a_n})^2}{2} \leq \dfrac{(\sqrt{b_n}-\sqrt{a_n})(\sqrt{b_n}+\sqrt{a_n})}{2} = \dfrac{b_n - a_n}{2}\). Donc \(0 \leq b_n - a_n \leq \dfrac{8}{2^n} \to 0\) : les suites sont adjacentes. Leur limite \(\ell\) vérifie \(a_2 \leq \ell \leq b_2\), soit \(3{,}87 \lt \ell \lt 4\).

21 Puissances d’un nombre complexe ★★★

  1. \(|\sqrt{3}+i| = \sqrt{3+1} = 2\), donc \(|z_n| = \left(\dfrac{2}{3}\right)^n \to 0\). Par la caractérisation par le module, \(z_n \to 0\).
  2. \(\dfrac{1+i}{\sqrt{2}} = e^{i\pi/4}\), donc \(w_n = e^{in\pi/4}\). On obtient \(w_{8k} = e^{2ik\pi} = 1\) et \(w_{8k+4} = e^{2ik\pi + i\pi} = -1\). Deux sous-suites ont des limites différentes (\(1\) et \(-1\)) : \((w_n)\) diverge, bien que \(|w_n| = 1\) soit bornée.
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