Suites réelles et complexes : cours de maths Maths Sup

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Cours de maths en Maths Sup : Suites réelles et complexes — Zyro, l’explorateur de Planète Maths

Une suite est une liste infinie de nombres, rangés dans l’ordre : températures relevées chaque jour, capital d’un placement, approximations successives d’une racine. En classes préparatoires, on ne se contente plus de « voir » vers quoi tend une suite : on le démontre, avec des inégalités précises, et on étend la théorie aux nombres complexes. Ce chapitre rassemble les outils de base : définition de la limite, comparaisons, suites monotones et adjacentes, sous-suites, récurrences, équivalents.

Sommaire

1. Suites réelles et complexes : vocabulaire

Suite

Une suite réelle (resp. complexe) est une application \(u : \mathbb{N} \to \mathbb{R}\) (resp. \(\mathbb{C}\)), notée \((u_n)_{n\in\mathbb{N}}\). Elle est bornée s’il existe \(M \geq 0\) tel que \(|u_n| \leq M\) pour tout \(n\) ; le module \(|\cdot|\) joue le rôle de la valeur absolue dans le cas complexe.

Pour une suite réelle, on parle aussi de suite croissante (\(u_{n+1} \geq u_n\) pour tout \(n\)), décroissante, majorée, minorée. Ces notions n’ont pas de sens pour une suite complexe, puisque \(\mathbb{C}\) n’est pas ordonné : seule la notion de module, donc de distance, subsiste. Une propriété est dite vraie à partir d’un certain rang si elle est vraie pour tout \(n \geq N\), pour un entier \(N\).

2. Convergence et limite

Suite convergente

La suite \((u_n)\) converge vers \(\ell\) si, pour tout \(\varepsilon \gt 0\), il existe un rang \(N\) tel que \(|u_n - \ell| \leq \varepsilon\) pour tout \(n \geq N\). On écrit \(u_n \to \ell\). Elle tend vers \(+\infty\) si, pour tout réel \(A\), on a \(u_n \geq A\) à partir d’un certain rang.

Sur la figure, tous les termes d’indice assez grand rentrent dans la bande de largeur \(0{,}3\) autour de la limite \(2\) : c’est exactement l’idée de la définition avec \(\varepsilon = 0{,}3\).

Propriétés de base

1) La limite, si elle existe, est unique. 2) Toute suite convergente est bornée. 3) Si \(u_n \to \ell\) et \(v_n \to \ell'\), alors \(u_n + v_n \to \ell + \ell'\), \(u_n v_n \to \ell\ell'\) et, si \(\ell' \neq 0\), \(u_n / v_n \to \ell/\ell'\). 4) Une suite complexe \((z_n)\) converge vers \(\ell\) si et seulement si \(|z_n - \ell| \to 0\), si et seulement si \((\operatorname{Re} z_n)\) et \((\operatorname{Im} z_n)\) convergent vers \(\operatorname{Re}\ell\) et \(\operatorname{Im}\ell\).

Exemple 1 : la définition en action

Soit \(u_n = \dfrac{3n+1}{n+2}\). Montrons que \(u_n \to 3\). On calcule \(u_n - 3 = \dfrac{3n+1-3n-6}{n+2} = \dfrac{-5}{n+2}\), donc \(|u_n - 3| = \dfrac{5}{n+2}\).

Soit \(\varepsilon \gt 0\). On a \(\dfrac{5}{n+2} \lt \varepsilon\) dès que \(n \gt \dfrac{5}{\varepsilon} - 2\) ; il suffit de prendre pour \(N\) un entier supérieur à \(\dfrac{5}{\varepsilon}\). Pour \(\varepsilon = 10^{-3}\), le rang \(N = 4999\) convient.

Attention

« Convergente implique bornée » ne se renverse pas : la suite \(((-1)^n)\) est bornée et ne converge pas. Pour prouver une divergence, on exhibe deux sous-suites de limites différentes (voir la partie 5).

3. Théorèmes de comparaison

Théorèmes de comparaison

a) Passage à la limite dans une inégalité large : si \(u_n \leq v_n\) à partir d’un certain rang, et si \(u_n \to \ell\), \(v_n \to \ell'\), alors \(\ell \leq \ell'\). Une inégalité stricte devient large à la limite.

b) Théorème d’encadrement : si \(u_n \leq w_n \leq v_n\) à partir d’un certain rang et si \(u_n \to \ell\) et \(v_n \to \ell\), alors \(w_n \to \ell\).

c) Minoration : si \(u_n \leq v_n\) et \(u_n \to +\infty\), alors \(v_n \to +\infty\).

d) Si \(u_n \to 0\) et si \((v_n)\) est bornée, alors \(u_n v_n \to 0\).

Exemple 2 : une somme à encadrer

Pour \(n \geq 1\), posons \(S_n = \displaystyle\sum_{k=1}^{n} \dfrac{n}{n^2+k}\). Pour \(1 \leq k \leq n\), on a \(n^2 + 1 \leq n^2 + k \leq n^2 + n\), donc \(\dfrac{n}{n^2+n} \leq \dfrac{n}{n^2+k} \leq \dfrac{n}{n^2+1}\). En additionnant les \(n\) termes :

\[ \dfrac{n^2}{n^2+n} \leq S_n \leq \dfrac{n^2}{n^2+1}. \]

Les deux membres extrêmes tendent vers \(1\) : d’après le théorème d’encadrement, \(S_n \to 1\).

4. Suites monotones, bornées, adjacentes

Théorème de la limite monotone

Toute suite réelle croissante et majorée converge ; toute suite croissante non majorée tend vers \(+\infty\). Symétriquement, toute suite décroissante et minorée converge.

Suites adjacentes

Deux suites réelles \((u_n)\) et \((v_n)\) sont adjacentes si \((u_n)\) est croissante, \((v_n)\) est décroissante et \(v_n - u_n \to 0\).

Théorème des suites adjacentes

Deux suites adjacentes convergent vers la même limite \(\ell\), et \(u_n \leq \ell \leq v_n\) pour tout \(n\).

En effet \(v_n - u_n\) est décroissante et tend vers \(0\), donc elle est positive : \(u_0 \leq u_n \leq v_n \leq v_0\). Les deux suites sont monotones et bornées, donc convergent, et la limite de \(v_n - u_n\) est nulle : les limites coïncident. Géométriquement, les segments \([u_n, v_n]\) sont emboîtés et leur longueur tend vers \(0\).

Exemple 3 : approximation par encadrement

Posons \(u_n = \displaystyle\sum_{k=1}^{n} \dfrac{1}{k^3}\) et \(v_n = u_n + \dfrac{1}{2n^2}\). La suite \((u_n)\) est clairement croissante. Ensuite
\[ v_{n+1} - v_n = \dfrac{1}{(n+1)^3} + \dfrac{1}{2(n+1)^2} - \dfrac{1}{2n^2} = \dfrac{2n^2 - (2n+1)(n+1)}{2n^2(n+1)^3} = \dfrac{-(3n+1)}{2n^2(n+1)^3} \lt 0, \]
donc \((v_n)\) est décroissante. Enfin \(v_n - u_n = \dfrac{1}{2n^2} \to 0\). Les suites sont adjacentes : elles convergent vers une même limite \(\ell\), et par exemple \(u_3 \leq \ell \leq v_3\), soit \(1{,}162 \leq \ell \leq 1{,}218\).

5. Sous-suites et théorème de Bolzano-Weierstrass

Sous-suite

Une extraction est une application \(\varphi : \mathbb{N} \to \mathbb{N}\) strictement croissante. La suite \((u_{\varphi(n)})\) est une sous-suite de \((u_n)\). Les suites \((u_{2n})\) et \((u_{2n+1})\) en sont des exemples.

Propriétés

1) Si \(u_n \to \ell\), toute sous-suite de \((u_n)\) converge aussi vers \(\ell\). 2) Si \((u_{2n})\) et \((u_{2n+1})\) convergent vers la même limite \(\ell\), alors \(u_n \to \ell\). 3) Bolzano-Weierstrass : de toute suite réelle ou complexe bornée, on peut extraire une sous-suite convergente.

L’idée de la démonstration, dans le cas réel : on coupe l’intervalle borné contenant la suite en deux moitiés ; l’une d’elles contient une infinité de termes ; on la garde et on recommence. On construit ainsi des intervalles emboîtés de longueur tendant vers \(0\), et un terme de chaque intervalle, d’indices croissants, fournit la sous-suite cherchée. Pour une suite complexe, on applique le résultat réel à la partie réelle, puis à la partie imaginaire de la sous-suite obtenue.

Conséquence pratique : si une suite possède deux sous-suites de limites différentes, elle diverge. Ainsi \(u_n = (-1)^n\) diverge car \(u_{2n} = 1\) et \(u_{2n+1} = -1\).

6. Suites récurrentes \(u_{n+1} = f(u_n)\)

Méthode d’étude

Trouver un intervalle \(I\) stable par \(f\) (\(f(I) \subset I\)) qui contient \(u_0\) : toute la suite reste alors dans \(I\) (récurrence).
Si \(f\) est croissante sur \(I\), la suite est monotone : le sens se lit en comparant \(u_0\) et \(u_1\). Si \(f\) est décroissante, ce sont \((u_{2n})\) et \((u_{2n+1})\) qui sont monotones, de sens contraires.
Appliquer le théorème de la limite monotone.
Si \(f\) est continue et \(u_n \to \ell\), alors \(\ell\) vérifie \(f(\ell) = \ell\) : c’est un point fixe. On résout cette équation et on retient la solution compatible avec l’intervalle.

Exemple 4 : une racine itérée

Soit \(u_0 = 1\) et \(u_{n+1} = \sqrt{2 + u_n}\). Sur \(I = [0, 2]\), la fonction \(f(x) = \sqrt{2+x}\) est croissante et \(f(I) = [\sqrt{2}, 2] \subset I\) : donc \(0 \leq u_n \leq 2\) pour tout \(n\).

Pour \(x \in [0,2]\), \(f(x) - x = \dfrac{2 + x - x^2}{\sqrt{2+x}+x} = \dfrac{(2-x)(1+x)}{\sqrt{2+x}+x} \geq 0\), donc \((u_n)\) est croissante. Croissante et majorée par \(2\), elle converge vers un réel \(\ell\) qui vérifie \(\ell = \sqrt{2+\ell}\), soit \(\ell^2 - \ell - 2 = 0\), donc \(\ell = 2\) (l’autre racine, \(-1\), est négative).

Astuce de Zyro

Pour deviner la limite d’une suite récurrente avant de la démontrer, trace la courbe de \(f\) et la droite \(y = x\) : les points fixes sont leurs intersections, et l’« escalier » de la figure montre si la suite s’en approche ou s’en éloigne.

7. Suites négligeables et équivalentes

Négligeabilité et équivalence

Soit \((v_n)\) une suite qui ne s’annule pas à partir d’un certain rang. On dit que \((u_n)\) est négligeable devant \((v_n)\), et on note \(u_n = o(v_n)\), si \(\dfrac{u_n}{v_n} \to 0\). On dit que \((u_n)\) est équivalente à \((v_n)\), et on note \(u_n \sim v_n\), si \(\dfrac{u_n}{v_n} \to 1\), c’est-à-dire \(u_n - v_n = o(v_n)\).

Règles de calcul

Les équivalents se multiplient, se divisent et s’élèvent à une puissance fixée : si \(u_n \sim a_n\) et \(v_n \sim b_n\), alors \(u_n v_n \sim a_n b_n\), \(u_n / v_n \sim a_n / b_n\) et \(u_n^p \sim a_n^p\). Deux suites équivalentes ont la même limite quand elle existe. Hiérarchie de croissance (pour \(a \gt 0\) et \(q \gt 1\)) : \(\ln n = o(n^a)\), \(n^a = o(q^n)\), \(q^n = o(n!)\).

Attention

On ne somme pas des équivalents et on ne les compose pas par une fonction quelconque : \(n + 1 \sim n\) et \(-n \sim -n\), mais \(1 \not\sim 0\). Dans une somme, on factorise d’abord le terme dominant, puis on utilise le reste.

Exemple 5 : un équivalent après une quantité conjuguée

Posons \(w_n = \sqrt{n+1} - \sqrt{n}\). Une soustraction de deux grandeurs équivalentes est dangereuse ; on multiplie par la quantité conjuguée :

\[ w_n = \dfrac{1}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}} \sim \dfrac{1}{2\sqrt{n}}, \]

car le rapport \(\dfrac{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}{2\sqrt{n}} = \dfrac{\sqrt{1+1/n}+1}{2}\) tend vers \(1\). Ainsi \(w_n \to 0\), et \(w_n\) décroît à la manière de \(\dfrac{1}{2\sqrt{n}}\).

8. Suites arithmético-géométriques

Ce sont les suites définies par \(u_{n+1} = a u_n + b\), avec \(a \neq 1\) (si \(a = 1\), la suite est arithmétique). Le réel (ou complexe) \(\ell = \dfrac{b}{1-a}\) est l’unique point fixe de \(x \mapsto ax + b\).

Méthode

Calculer le point fixe \(\ell\) en résolvant \(\ell = a\ell + b\).
Poser \(v_n = u_n - \ell\) : alors \(v_{n+1} = a v_n\), la suite \((v_n)\) est géométrique.
Conclure : \(u_n = \ell + a^n (u_0 - \ell)\).

Cette formule vaut aussi pour \(a \in \mathbb{C}\). La suite converge vers \(\ell\) si et seulement si \(|a| \lt 1\) ou \(u_0 = \ell\) ; sinon, elle diverge.

Exemple 6 : un réservoir qui se remplit

Soit \(u_0 = 3\) et \(u_{n+1} = \dfrac{2}{3}u_n + 5\). Le point fixe vérifie \(\ell = \dfrac{2}{3}\ell + 5\), donc \(\ell = 15\). Avec \(v_n = u_n - 15\), on a \(v_{n+1} = \dfrac{2}{3}v_n\) et \(v_0 = -12\), donc

\[ u_n = 15 - 12\left(\dfrac{2}{3}\right)^n. \]

Comme \(\left|\dfrac{2}{3}\right| \lt 1\), on a \(u_n \to 15\), par valeurs croissantes. Vérification : \(u_1 = \dfrac{2}{3}\times 3 + 5 = 7 = 15 - 8\).

À retenir

\(u_n \to \ell\) signifie : pour tout \(\varepsilon \gt 0\), \(|u_n - \ell| \leq \varepsilon\) à partir d’un certain rang ; la limite est unique et une suite convergente est bornée.
Une suite complexe converge si et seulement si ses parties réelle et imaginaire convergent, ou si \(|z_n - \ell| \to 0\).
Encadrement, minoration et produit « borné fois tend vers \(0\) » sont les trois réflexes de comparaison.
Croissante et majorée implique convergente ; deux suites adjacentes ont la même limite, qui les encadre.
Bolzano-Weierstrass : toute suite bornée admet une sous-suite convergente ; deux sous-suites de limites distinctes prouvent la divergence.
Pour \(u_{n+1} = f(u_n)\) : intervalle stable, monotonie, limite monotone, puis équation \(f(\ell) = \ell\).
Les équivalents passent au produit, au quotient et à la puissance, jamais à la somme.
Arithmético-géométrique : \(u_n = \ell + a^n(u_0 - \ell)\) avec \(\ell = \dfrac{b}{1-a}\).