Corrigé du contrôle avec le barème détaillé. Compte tes points et repère ce qu’il faut revoir.
1 Bureau d’un club / 4 pts
a) \(\dbinom{14}4=1\,001\). (1 pt)
b) \(\dbinom62\dbinom82=15\times28=420\). (1 pt)
c) Complémentaire « aucune fille » : \(\dbinom84=70\) ; \(1\,001-70=931\). (1 pt)
d) \(A_{14}^3=14\times13\times12=2\,184\). (1 pt)
2 Plateforme de vidéo / 4 pts
a) Arbre : racine, branches \(G\) (0,55) et \(\overline G\) (0,45) ; puis \(Q\) (0,30) et \(\overline Q\) (0,70) sous \(G\) ; \(Q\) (0,10) et \(\overline Q\) (0,90) sous \(\overline G\). (1 pt)
b) Probabilités totales : \(P(Q)=0{,}55\times0{,}30+0{,}45\times0{,}10=0{,}165+0{,}045=0{,}21\). (1 pt)
c) Bayes : \(P_Q(G)=\dfrac{0{,}165}{0{,}21}=\dfrac{11}{14}\approx0{,}786\). (1 pt)
d) \(P(G)P(Q)=0{,}55\times0{,}21=0{,}1155\ne0{,}165=P(G\cap Q)\) : non indépendants. (1 pt)
3 Somme de deux boules / 5 pts
a) \(\dbinom62=15\) tirages équiprobables. (1 pt)
b) \(X=3\) : 1 et 2 : \(1\times2=2\) tirages ; \(X=4\) : 1 et 3 (3 tirages) ou 2 et 2 (1 tirage) : 4 ; \(X=5\) : 2 et 3 : \(2\times3=6\) ; \(X=6\) : 3 et 3 : \(\binom32=3\). Total \(2+4+6+3=15\). Loi : \(\frac2{15},\frac4{15},\frac6{15},\frac3{15}\). (2 pts)
c) \(E(X)=\dfrac{6+16+30+18}{15}=\dfrac{70}{15}=\dfrac{14}3\). (1 pt)
d) \(E(X^2)=\dfrac{18+64+150+108}{15}=\dfrac{340}{15}=\dfrac{68}3\) ; \(V(X)=\dfrac{68}3-\dfrac{196}9=\dfrac{204-196}9=\dfrac89\). (1 pt)
4 Deux événements / 4 pts
a) \(P(A\cap B)=0{,}6+0{,}5-0{,}8=0{,}3\). (1 pt)
b) \(P(A)P(B)=0{,}3=P(A\cap B)\) : indépendants. (1 pt)
c) \(P(A\cap\overline B)=P(A)-P(A\cap B)=0{,}3\). (1 pt)
d) \(P(\overline A\cap B)=0{,}5-0{,}3=0{,}2\), donc \(P_B(\overline A)=\frac{0{,}2}{0{,}5}=0{,}4\). (1 pt)
5 Tir à l’arc / 3 pts
\(X\sim\mathcal B(6;0{,}7)\).
a) \(P(X=6)=0{,}7^6\approx0{,}1176\). (1 pt)
b) \(P(X=5)=6\times0{,}7^5\times0{,}3\approx0{,}3025\), donc \(P(X\ge5)\approx0{,}3025+0{,}1176=0{,}4202\). (1 pt)
c) \(E(X)=6\times0{,}7=4{,}2\). (1 pt)
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