Matrices et déterminants : contrôle de maths Maths Sup à télécharger en PDF

1 Calcul matriciel / 3 pts

Soit \(A = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 2 \\ 0 & 3 & 1 \end{pmatrix}\) et \(B = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 1 & -2 \\ -1 & 4 \end{pmatrix}\). Calcule \(AB\) puis \(BA\), et compare \(\operatorname{tr}(AB)\) et \(\operatorname{tr}(BA)\).

2 Pivot de Gauss / 4 pts

Résous par la méthode du pivot de Gauss \(\begin{cases} x + y + z = 6 \\ 2x - y + 3z = 9 \\ 3x + 2y - z = 4 \end{cases}\) et donne le rang du système.

3 Déterminant à paramètre / 4 pts

Pour \(a \in \mathbb{R}\), soit \(M(a) = \begin{pmatrix} 1 & 1 & a \\ 1 & a & 1 \\ a & 1 & 1 \end{pmatrix}\).

1. Montre que \(\det M(a) = -(a-1)^2(a+2)\).
2. Pour quelles valeurs de \(a\) la matrice est-elle non inversible ?
3. Détermine le rang de \(M(1)\) et de \(M(-2)\).

4 Application sur les polynômes / 3 pts

Soit \(f : \mathbb{R}_2[X] \to \mathbb{R}_2[X]\) définie par \(f(P) = P + P'\).

1. Écris la matrice \(M\) de \(f\) dans la base \((1, X, X^2)\).
2. Montre que \(f\) est bijective.

5 Changement de base / 3 pts

Soit \(A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & -2 \end{pmatrix}\) et \(P = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & -2 \end{pmatrix}\).

1. Vérifie que \(P^{-1} = \dfrac{1}{5}P\) puis que \(P^{-1}AP = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & -3 \end{pmatrix}\).
2. Déduis-en \(A^3\).

6 Trace et similitude / 3 pts

On travaille avec des matrices carrées de \(\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\).

1. Démontre que \(\operatorname{tr}(AB) = \operatorname{tr}(BA)\) pour deux matrices carrées quelconques de même taille.
2. Déduis-en que deux matrices semblables \(A\) et \(B = P^{-1}AP\) ont la même trace.
3. Les matrices \(I_2\) et \(\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\) sont-elles semblables ?