Limites et continuité : exercices corrigés de maths Maths Sup à télécharger en PDF

1 Limites de fractions rationnelles ★★★

a) On factorise \(x^3\) : \(\dfrac{4x^3 - x}{2x^3 + 5} = \dfrac{4 - 1/x^2}{2 + 5/x^3} \to \dfrac42 = 2\).

b) Pour \(x \neq 3\), \(\dfrac{x^2-9}{x-3} = x + 3\), qui tend vers \(6\).

c) On factorise \(x^2\) : \(\dfrac{7 + 1/x}{1 - 1/x^2} \to 7\).

2 Limite à gauche, limite à droite ★★★

Pour \(x \gt 2\), \(|x-2| = x-2\) donc \(f(x) = 1\) : la limite à droite vaut \(1\).

Pour \(x \lt 2\), \(|x-2| = -(x-2)\) donc \(f(x) = -1\) : la limite à gauche vaut \(-1\).

Les deux limites sont différentes : \(f\) n’a pas de limite en \(2\).

3 Raccorder deux morceaux ★★★

\(f(1) = 2\) et la limite à gauche vaut aussi \(2\). La limite à droite vaut \(a + 3\).

La continuité en \(1\) équivaut à \(a + 3 = 2\), soit \(a = -1\).

4 Vrai ou faux ? ★★★

1. Vrai : par définition, la limite en \(a\) vaut \(f(a)\).
2. Faux : \(f(x) = 1\) si \(x \neq 0\) et \(f(0) = 0\) a pour limite \(1\) en \(0\), mais \(f(0) = 0\).
3. Vrai : c’est le TVI avec la valeur \(0\), comprise entre \(f(0)\) et \(f(1)\) ; le point trouvé est dans \(]0,1[\) car \(f(0)\) et \(f(1)\) ne sont pas nuls.
4. Faux : la fonction n’est pas majorée sur \(]0,1]\) (elle tend vers \(+\infty\) en \(0\)) ; \(]0,1]\) n’est pas un segment.

5 Trois solutions ★★★

Soit \(f(x) = x^3 - 4x + 1\), continue sur \(\mathbb{R}\). On calcule \(f(-3) = -14\), \(f(-2) = 1\), \(f(0) = 1\), \(f(1) = -2\) et \(f(2) = 1\).

Les signes sont contraires aux extrémités de chacun des trois intervalles : le TVI donne une solution dans chacun. Ces intervalles sont disjoints, donc on a trois solutions distinctes. Un polynôme de degré \(3\) a au plus trois racines : l’équation a exactement trois solutions.

6 Équivalents simples ★★★

a) \(3x^4\) (terme de plus haut degré). b) \(5x\) (\(\sin u \sim u\) avec \(u = 5x \to 0\)). c) \(\dfrac{x^2}{2}\). d) \(4x\) (\(\ln(1+u) \sim u\) avec \(u = 4x \to 0\)).

Par quotient, \(\dfrac{\sin(5x)}{\ln(1+4x)} \sim \dfrac{5x}{4x} = \dfrac54\) : la limite vaut \(\dfrac54\).

7 Une fonction à sauts ★★★

Pour \(x \in [3,4[\), \(\lfloor x \rfloor = 3\) et \(g(x) = 3x\) : la limite à droite en \(3\) vaut \(9 = g(3)\), donc \(g\) est continue à droite en \(3\).

Pour \(x \in [2,3[\), \(g(x) = 2x\) : la limite à gauche en \(3\) vaut \(6 \neq g(3)\). Donc \(g\) n’est pas continue à gauche en \(3\), ni continue en \(3\) : on lit un saut de \(6\) à \(9\) sur le graphe.

8 Une racine carrée conjuguée ★★★

Pour \(x \gt 0\), on multiplie par la quantité conjuguée : \[ \sqrt{x^2+4x} - x = \dfrac{(x^2 + 4x) - x^2}{\sqrt{x^2+4x} + x} = \dfrac{4x}{\sqrt{x^2+4x} + x} = \dfrac{4}{\sqrt{1 + 4/x} + 1}. \]

Quand \(x \to +\infty\), \(\sqrt{1 + 4/x} \to 1\), donc la limite vaut \(\dfrac{4}{2} = 2\).

9 Encadrement ★★★

Pour tout \(x\), \(-1 \leqslant \cos x \leqslant 1\), donc pour \(x \gt 1\) (dénominateur positif) : \[ \dfrac{3x - 1}{x - 1} \leqslant f(x) \leqslant \dfrac{3x + 1}{x - 1}. \]

Les deux bornes valent \(\dfrac{3 \mp 1/x}{1 - 1/x}\) et tendent vers \(3\). Par le théorème des gendarmes, \(\lim_{+\infty} f = 3\).

10 Prolonger par continuité ★★★

Pour \(x \neq 0\), \(\sqrt{x+9} - 3 = \dfrac{(x+9) - 9}{\sqrt{x+9} + 3} = \dfrac{x}{\sqrt{x+9} + 3}\), donc \(f(x) = \dfrac{1}{\sqrt{x+9} + 3}\).

Cette expression tend vers \(\dfrac{1}{3 + 3} = \dfrac16\) en \(0\). Le prolongement par continuité est obtenu en posant \(f(0) = \dfrac16\).

11 Limites et équivalents ★★★

a) \(e^{2x} - 1 \sim 2x\) et \(\ln(1+3x) \sim 3x\) : le quotient tend vers \(\dfrac23\).

b) \(1 - \cos x \sim \dfrac{x^2}{2}\) et \(x \sin x \sim x^2\) : le quotient tend vers \(\dfrac12\).

c) \(\tan(3x) \sim 3x\) et \(\sin x \sim x\) : le quotient tend vers \(3\).

12 Un point fixe du cosinus ★★★

Soit \(g(x) = \cos x - x\), continue sur \([0,1]\). On a \(g(0) = 1 \gt 0\) et \(g(1) = \cos 1 - 1 \lt 0\) (car \(\cos 1 \approx 0{,}54\)) : par le TVI, \(g\) s’annule.

Sur \([0,1]\), \(\cos\) est décroissante et \(x \mapsto -x\) aussi : \(g\) est strictement décroissante, donc la solution est unique.

Enfin \(g(0{,}7) \approx 0{,}065 \gt 0\) et \(g(0{,}8) \approx -0{,}103 \lt 0\) : la solution est dans \(]0{,}7\,;\,0{,}8[\).

13 Une bijection et sa réciproque ★★★

\(f\) est continue et strictement croissante sur \(\mathbb{R}\) (somme de deux fonctions strictement croissantes), de limites \(-\infty\) et \(+\infty\) : c’est une bijection de \(\mathbb{R}\) sur \(\mathbb{R}\) d’après le théorème de la bijection.

On lit \(f(1) = 3\), \(f(2) = 8 + 4 = 12\) et \(f(-1) = -3\), donc \(f^{-1}(3) = 1\), \(f^{-1}(12) = 2\) et \(f^{-1}(-3) = -1\).

Si \(M(a\,;\,b)\) est sur la courbe de \(f\), alors \(f(a) = b\), donc \(f^{-1}(b) = a\) et \(M'(b\,;\,a)\) est sur celle de \(f^{-1}\) : les courbes sont symétriques par rapport à la droite \(y = x\).

14 Image d’un segment ★★★

La dérivée est \(f'(x) = \dfrac{1 - x^2}{(1+x^2)^2}\) : \(f\) croît sur \([0,1]\) et décroît sur \([1,3]\). On a \(f(0) = 0\), \(f(1) = \dfrac12\) et \(f(3) = \dfrac{3}{10}\).

Le maximum vaut \(\dfrac12\) et le minimum \(0\) (en \(0\)) : l’image de \([0,3]\) est \(\left[0, \dfrac12\right]\).

Sur \([1,+\infty[\), \(f\) décroît de \(\dfrac12\) vers \(0\) sans l’atteindre, et \(f(0) = 0\) : l’image de \([0,+\infty[\) est encore \(\left[0, \dfrac12\right]\). La fonction est impaire, donc l’image de \(\mathbb{R}\) est \(\left[-\dfrac12, \dfrac12\right]\).

15 Deux points à même température ★★★

Posons \(g(x) = f(x + \tfrac12) - f(x)\) pour \(x \in [0, \tfrac12]\) ; \(g\) est continue.

On a \(g(0) = f(\tfrac12) - f(0)\) et \(g(\tfrac12) = f(1) - f(\tfrac12) = f(0) - f(\tfrac12) = -g(0)\).

Les deux valeurs sont opposées, donc \(0\) est compris entre elles : par le TVI, il existe \(x \in [0, \tfrac12]\) avec \(g(x) = 0\), c’est-à-dire \(f(x) = f(x + \tfrac12)\).

16 Périodique et limite finie ★★★

1. Fixons \(x \in \mathbb{R}\). Pour tout entier \(n\), \(f(x + nT) = f(x)\) et \(x + nT \to +\infty\). Par composition avec la suite, \(f(x + nT) \to \ell\). Une suite constante a pour limite sa valeur : \(f(x) = \ell\), pour tout \(x\).
2. \(\cos\) est continue, \(2\pi\)-périodique et non constante (\(\cos 0 = 1\), \(\cos \pi = -1\)). Si elle avait une limite finie en \(+\infty\), elle serait constante, ce qui est faux ; elle ne peut pas non plus tendre vers \(\pm\infty\) (elle est bornée).
3. Soit \(\ell\) la limite. Il existe \(B\) tel que \(|h(x) - \ell| \leqslant 1\) pour \(x \geqslant B\), donc \(|h| \leqslant |\ell| + 1\) sur \([B,+\infty[\). Sur le segment \([0,B]\), \(h\) est bornée (théorème des bornes atteintes). Donc \(h\) est bornée sur \([0,+\infty[\).

17 Racine carrée et carré ★★★

1. On a \((\sqrt{y} + \sqrt{x-y})^2 = x + 2\sqrt{y}\sqrt{x-y} \geqslant x\), donc \(\sqrt{x} \leqslant \sqrt{y} + \sqrt{x-y}\), d’où l’inégalité. Pour \(\varepsilon \gt 0\), on prend \(\delta = \varepsilon^2\) : si \(|x-y| \leqslant \delta\), alors \(|\sqrt{x} - \sqrt{y}| \leqslant \sqrt{|x-y|} \leqslant \varepsilon\).
2. Pour \(x, y \in [0,3]\), \(|x^2 - y^2| = |x-y|\,|x+y| \leqslant 6\,|x-y|\).
3. Avec \(x_n = n\) et \(y_n = n + \tfrac1n\), \(y_n - x_n \to 0\) mais \(y_n^2 - x_n^2 = 2 + \tfrac{1}{n^2} \geqslant 2\) : aucun \(\delta\) ne convient pour \(\varepsilon = 1\).

18 L’inverse n’est pas uniforme ★★★

1. La fonction inverse est continue sur \(]0,1]\) comme quotient de fonctions continues. Mais \(x_n - y_n = \dfrac{1}{2n} \to 0\), alors que \(\left|\dfrac{1}{x_n} - \dfrac{1}{y_n}\right| = |n - 2n| = n \geqslant 1\) : la continuité n’est pas uniforme.
2. Pour \(x, y \in [\tfrac12, 1]\), \(\left|\dfrac1x - \dfrac1y\right| = \dfrac{|x-y|}{xy} \leqslant 4\,|x-y|\) car \(xy \geqslant \tfrac14\). La fonction est \(4\)-lipschitzienne ; ce résultat est cohérent avec le théorème de Heine sur ce segment.

19 Limites exponentielles ★★★

a) On écrit \(\left(1 + \tfrac2x\right)^{3x} = \exp\!\left(3x \ln\left(1 + \tfrac2x\right)\right)\). Comme \(\tfrac2x \to 0\), \(\ln(1 + \tfrac2x) \sim \tfrac2x\), donc \(3x \ln(1 + \tfrac2x) \to 6\) et la limite vaut \(e^6\).

b) De même, \(x \ln(1 - \tfrac1x) \sim x \times (-\tfrac1x) = -1\) : la limite vaut \(e^{-1}\).

c) \(x\left(\sqrt{x^2+1} - x\right) = \dfrac{x}{\sqrt{x^2+1} + x} = \dfrac{1}{\sqrt{1 + 1/x^2} + 1} \to \dfrac12\).

20 Les racines de x³ − 3x + 1 ★★★

1. \(f'(x) = 3(x^2 - 1)\) : \(f\) croît sur \(]-\infty,-1]\), décroît sur \([-1,1]\), croît sur \([1,+\infty[\), avec \(f(-1) = 3\) et \(f(1) = -1\). Sur \(]-\infty,-1]\), \(f\) est une bijection sur \(]-\infty, 3]\) qui contient \(0\) : une solution. Sur \([-1,1]\), bijection sur \([-1,3]\) : une solution. Sur \([1,+\infty[\), bijection sur \([-1,+\infty[\) : une solution. Trois solutions exactement.
   Localisation : \(f(-2) = -1 \lt 0 \lt f(-1) = 3\) donne \(\alpha \in\, ]-2,-1[\) ; \(f(0) = 1 \gt 0 \gt f(1) = -1\) donne \(\beta \in\, ]0,1[\) ; \(f(1) = -1 \lt 0 \lt f(2) = 3\) donne \(\gamma \in\, ]1,2[\).
2. Avec \(x = 2\cos\theta\), \(x^3 - 3x = 8\cos^3\theta - 6\cos\theta = 2\cos 3\theta\), donc \(f(x) = 0\) équivaut à \(\cos 3\theta = -\tfrac12\), soit \(3\theta \in \{\tfrac{2\pi}{3}, \tfrac{4\pi}{3}, \tfrac{8\pi}{3}\}\) et \(\theta \in \{\tfrac{2\pi}{9}, \tfrac{4\pi}{9}, \tfrac{8\pi}{9}\}\). On obtient \(\alpha = 2\cos\tfrac{8\pi}{9} \approx -1{,}88\), \(\beta = 2\cos\tfrac{4\pi}{9} \approx 0{,}35\) et \(\gamma = 2\cos\tfrac{2\pi}{9} \approx 1{,}53\).

21 Continue et injective ★★★

1. Le réel \(y\) est compris entre \(f(a)\) et \(f(b)\), donc le TVI sur \([a,b]\) donne \(s \in [a,b]\) avec \(f(s) = y\) ; \(s \neq b\) car \(f(b) \gt y\), donc \(s \lt b\). De même sur \([b,c]\), on obtient \(t \gt b\) avec \(f(t) = y\). Ainsi \(s \lt b \lt t\) et \(f(s) = f(t) = y\).
2. Deux antécédents distincts d’une même valeur contredisent l’injectivité : si \(f\) est continue et injective, on ne peut avoir \(f(b) \gt \max(f(a), f(c))\) (et de même avec un creux). C’est la première étape de la preuve qu’une telle fonction est strictement monotone.
3. \(f(-1) = -1 + 3 = 2\) et \(f(2) = 8 - 6 = 2\), avec \(-1 \neq 2\) : \(f\) n’est pas injective sur \([-2,2]\), ce qui est cohérent avec les variations vues à l’exercice précédent.