Intégration et primitives : corrigé du contrôle de maths Maths Sup à télécharger en PDF

1 Calculs directs / 3 pts

a) Une primitive est \(2t^{3/2} + \dfrac2t\) (1 pt). Donc \(I = \left(16 + \dfrac12\right) - (2 + 2) = \dfrac{25}{2}\) (1 pt).

b) \(K = \Big[-\cos x + \dfrac{\sin 2x}{2}\Big]_0^{\pi/2} = (0 + 0) - (-1 + 0) = 1\) (1 pt).

2 Intégration par parties / 3 pts

On pose \(u = (\ln x)^2\) et \(v^{\prime} = 1\), donc \(u^{\prime} = \dfrac{2\ln x}{x}\) et \(v = x\) (1 pt).

\(J = \Big[x(\ln x)^2\Big]_1^e - \displaystyle\int_1^e 2\ln x\,dx\), et le crochet vaut \(e\cdot 1 - 1\cdot 0 = e\) (1 pt).

\(J = e - 2\times 1 = e - 2\) (1 pt).

3 Changement de variable / 3 pts

\(x = u^2\), \(dx = 2u\,du\), les bornes \(1\) et \(4\) deviennent \(1\) et \(2\) (1 pt).

\(\dfrac{dx}{x + \sqrt{x}} = \dfrac{2u\,du}{u^2 + u} = \dfrac{2\,du}{u+1}\) (1 pt).

Donc l’intégrale vaut \(\Big[2\ln(u+1)\Big]_1^2 = 2\ln 3 - 2\ln 2 = 2\ln\dfrac32\) (1 pt).

4 Somme de Riemann / 3 pts

\(\dfrac{1}{n+2k} = \dfrac1n\cdot\dfrac{1}{1 + 2k/n}\), donc \(u_n = \dfrac1n\displaystyle\sum_{k=1}^{n} f\!\left(\dfrac kn\right)\) avec \(f(x) = \dfrac{1}{1+2x}\) (1 pt).

\(f\) est continue sur \([0\,;1]\), donc \(u_n \to \displaystyle\int_0^1 \dfrac{dx}{1+2x}\) (1 pt).

\(\displaystyle\int_0^1 \dfrac{dx}{1+2x} = \Big[\dfrac12\ln(1+2x)\Big]_0^1 = \dfrac{\ln 3}{2}\) (1 pt).

5 Formule de Taylor / 3 pts

a) \(\cos x = 1 - \dfrac{x^2}{2} + R_3(x)\) avec \(R_3(x) = \displaystyle\int_0^x \dfrac{(x-t)^3}{6}\cos t\,dt\) (1 pt) (les dérivées \(f^{\prime}(0)\) et \(f^{(3)}(0)\) sont nulles).

b) Comme \(|\cos t| \leq 1\), \(|R_3(x)| \leq \left|\displaystyle\int_0^x \dfrac{|x-t|^3}{6}dt\right| = \dfrac{x^4}{24}\) (1 pt).

c) Pour \(x = 0{,}2\) : \(1 - 0{,}02 = 0{,}98\) et l’erreur est au plus \(\dfrac{0{,}0016}{24} \approx 6{,}7\times 10^{-5} < 10^{-4}\), donc \(0{,}97993 \leq \cos(0{,}2) \leq 0{,}98007\) (1 pt).

6 Équation d’ordre 1 / 2 pts

Homogène : \(y = C\,e^{2x}\). Pour \(y_p = \alpha x + \beta\) : \(\alpha - 2\alpha x - 2\beta = 4x\), donc \(\alpha = -2\) et \(\beta = -1\). Solution générale : \(y = C\,e^{2x} - 2x - 1\) (1 pt).

\(y(0) = C - 1 = 1\) donc \(C = 2\) et \(y(x) = 2e^{2x} - 2x - 1\) (1 pt).

7 Équation d’ordre 2 / 3 pts

\(r^2 - 2r + 5 = 0\), \(\Delta = 4 - 20 = -16\), donc \(r = 1 \pm 2i\) (1 pt). La solution générale est \(y = e^{x}(A\cos 2x + B\sin 2x)\) (1 pt).

\(y(0) = A = 1\). \(y^{\prime}(x) = e^{x}(A\cos 2x + B\sin 2x) + e^{x}(-2A\sin 2x + 2B\cos 2x)\), donc \(y^{\prime}(0) = A + 2B = 3\) et \(B = 1\) : \(y(x) = e^{x}(\cos 2x + \sin 2x)\) (1 pt).