Intégration et primitives : cours de maths Maths Sup

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Cours de maths en Maths Sup : Intégration et primitives — Zyro, l’explorateur de Planète Maths

Calculer une aire, retrouver une position à partir d’une vitesse, résoudre une équation qui décrit une désintégration ou une oscillation : toutes ces tâches reposent sur l’intégration. Ce chapitre rassemble les outils de première année : intégrale d’une fonction continue par morceaux, primitives, intégration par parties, changement de variable, sommes de Riemann, formule de Taylor avec reste intégral, puis équations différentielles linéaires d’ordre 1 et 2.

Sommaire

1. Intégrale d’une fonction continue par morceaux

Fonction continue par morceaux

Une fonction \(f\) est continue par morceaux sur \([a\,;b]\) s’il existe une subdivision \(a = x_0 < x_1 < \dots < x_p = b\) telle que \(f\) soit continue sur chaque \(]x_{i-1}\,;x_i[\) et admette une limite finie à droite et à gauche en chaque \(x_i\). Son intégrale \(\displaystyle\int_a^b f(t)\,dt\) est l’aire algébrique comprise entre la courbe et l’axe des abscisses : comptée positivement au-dessus de l’axe, négativement en dessous.

Pour \(f(x) = x^2 - 4x + 3\) sur \([0\,;4]\), les deux aires orange (de \(0\) à \(1\) et de \(3\) à \(4\)) valent chacune \(\dfrac{4}{3}\), l’aire cyan (de \(1\) à \(3\)) vaut \(\dfrac{4}{3}\) comptée négativement : l’intégrale totale vaut \(\dfrac{4}{3} - \dfrac{4}{3} + \dfrac{4}{3} = \dfrac{4}{3}\).

Propriétés de l’intégrale

Linéarité : \(\displaystyle\int_a^b (\lambda f + \mu g) = \lambda\int_a^b f + \mu\int_a^b g\).
Relation de Chasles : \(\displaystyle\int_a^c f = \int_a^b f + \int_b^c f\), et \(\displaystyle\int_b^a f = -\int_a^b f\).
Positivité et croissance (pour \(a \leq b\)) : si \(f \geq 0\) alors \(\displaystyle\int_a^b f \geq 0\) ; si \(f \leq g\) alors \(\displaystyle\int_a^b f \leq \int_a^b g\).
Inégalité triangulaire : \(\displaystyle\left|\int_a^b f\right| \leq \int_a^b |f|\).

La valeur moyenne de \(f\) sur \([a\,;b]\) est \(\mu = \dfrac{1}{b-a}\displaystyle\int_a^b f(t)\,dt\).

Piège

Une intégrale nulle ne signifie pas que la fonction est nulle : \(\displaystyle\int_0^2 (x-1)\,dx = 0\). Il faut ajouter les hypothèses « \(f\) continue et positive » pour conclure que \(f = 0\).

2. Primitives et théorème fondamental

Primitive

Une primitive de \(f\) sur un intervalle \(I\) est une fonction dérivable \(F\) telle que \(F^{\prime} = f\) sur \(I\). Deux primitives de \(f\) sur un intervalle diffèrent d’une constante.

Théorème fondamental de l’analyse

Si \(f\) est continue sur l’intervalle \(I\) et \(a \in I\), alors \(x \mapsto \displaystyle\int_a^x f(t)\,dt\) est l’unique primitive de \(f\) qui s’annule en \(a\). Pour toute primitive \(F\) de \(f\) :

\[ \int_a^b f(t)\,dt = F(b) - F(a) = \Big[F(t)\Big]_a^b. \]

Table des primitives à connaître (les constantes additives sont omises) :

Fonction \(f\)	Une primitive \(F\)	Intervalle
\(x^n\) (\(n \in \mathbb{N}\))	\(\dfrac{x^{n+1}}{n+1}\)	\(\mathbb{R}\)
\(x^\alpha\) (\(\alpha \neq -1\))	\(\dfrac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1}\)	\(]0\,;+\infty[\)
\(\dfrac{1}{x}\)	\(\ln\|x\|\)	\(]0\,;+\infty[\) ou \(]-\infty\,;0[\)
\(e^{x}\)	\(e^{x}\)	\(\mathbb{R}\)
\(\cos x\) ; \(\sin x\)	\(\sin x\) ; \(-\cos x\)	\(\mathbb{R}\)
\(\dfrac{1}{1+x^2}\)	\(\arctan x\)	\(\mathbb{R}\)
\(\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}\)	\(\arcsin x\)	\(]-1\,;1[\)
\(u^{\prime}u^{\alpha}\) ; \(\dfrac{u^{\prime}}{u}\) ; \(u^{\prime}e^{u}\)	\(\dfrac{u^{\alpha+1}}{\alpha+1}\) ; \(\ln\|u\|\) ; \(e^{u}\)	là où \(u\) est dérivable (et \(u \neq 0\) pour \(\ln\))

Exemple 1 : primitive d’une composée

Calculer \(\displaystyle\int_0^2 \dfrac{x}{1+x^2}\,dx\).

Avec \(u(x) = 1 + x^2\), on a \(u^{\prime}(x) = 2x\), donc \(\dfrac{x}{1+x^2} = \dfrac12\cdot\dfrac{u^{\prime}}{u}\) et une primitive est \(\dfrac12\ln(1+x^2)\).

\(\displaystyle\int_0^2 \dfrac{x}{1+x^2}\,dx = \dfrac12\ln 5 - \dfrac12\ln 1 = \dfrac{\ln 5}{2}\).

3. Intégration par parties

Intégration par parties

Si \(u\) et \(v\) sont de classe \(C^1\) sur \([a\,;b]\) :

\[ \int_a^b u(t)\,v^{\prime}(t)\,dt = \Big[u(t)\,v(t)\Big]_a^b - \int_a^b u^{\prime}(t)\,v(t)\,dt. \]

Elle découle de la dérivée d’un produit \((uv)^{\prime} = u^{\prime}v + uv^{\prime}\), intégrée entre \(a\) et \(b\).

Méthode

Repérer un facteur qui se simplifie en dérivant (polynôme, \(\ln\), \(\arctan\)) : ce sera \(u\).
Prendre pour \(v^{\prime}\) le facteur dont on connaît une primitive (\(e^{x}\), \(\cos x\), ou \(1\)).
Appliquer la formule et vérifier que la nouvelle intégrale est plus simple.

Exemple 2 : un produit polynôme × exponentielle

Calculer \(\displaystyle\int_0^1 x\,e^{x}\,dx\). On pose \(u(x) = x\), \(v^{\prime}(x) = e^{x}\), donc \(u^{\prime} = 1\) et \(v = e^{x}\).

\(\displaystyle\int_0^1 x\,e^{x}\,dx = \Big[x\,e^{x}\Big]_0^1 - \int_0^1 e^{x}\,dx = e - (e - 1) = 1\).

4. Changement de variable

Changement de variable

Si \(\varphi\) est de classe \(C^1\) sur \([\alpha\,;\beta]\) et \(f\) continue sur \(\varphi([\alpha\,;\beta])\), alors

\[ \int_{\varphi(\alpha)}^{\varphi(\beta)} f(x)\,dx = \int_{\alpha}^{\beta} f(\varphi(t))\,\varphi^{\prime}(t)\,dt. \]

Méthode

Poser \(x = \varphi(t)\) et remplacer \(dx\) par \(\varphi^{\prime}(t)\,dt\).
Changer les bornes : \(t = \alpha\) correspond à \(x = \varphi(\alpha)\).
Calculer la nouvelle intégrale, sans revenir à l’ancienne variable.

Exemple 3 : l’aire d’un quart de disque

Calculer \(\displaystyle\int_0^1 \sqrt{1-x^2}\,dx\). On pose \(x = \sin t\) avec \(t \in [0\,;\pi/2]\) : \(dx = \cos t\,dt\) et \(\sqrt{1-\sin^2 t} = \cos t\) (positif sur cet intervalle).

\(\displaystyle\int_0^1 \sqrt{1-x^2}\,dx = \int_0^{\pi/2} \cos^2 t\,dt = \int_0^{\pi/2} \dfrac{1+\cos 2t}{2}\,dt = \dfrac{\pi}{4}\), ce qui est bien l’aire d’un quart de disque de rayon \(1\).

Astuce de Zyro

Avant tout calcul, regarde la parité : si \(f\) est impaire, \(\displaystyle\int_{-a}^{a} f = 0\) ; si \(f\) est paire, \(\displaystyle\int_{-a}^{a} f = 2\int_0^a f\). Cela évite parfois toute intégration.

5. Sommes de Riemann

Convergence des sommes de Riemann

Si \(f\) est continue sur \([a\,;b]\), alors

\[ S_n = \dfrac{b-a}{n}\sum_{k=1}^{n} f\!\left(a + k\,\dfrac{b-a}{n}\right) \xrightarrow[n \to +\infty]{} \int_a^b f(t)\,dt. \]

En particulier, sur \([0\,;1]\) : \(\dfrac1n\displaystyle\sum_{k=1}^{n} f\!\left(\dfrac kn\right) \to \int_0^1 f\). Si \(f\) est de classe \(C^1\) avec \(|f^{\prime}| \leq M\), l’erreur vérifie \(\left|S_n - \displaystyle\int_a^b f\right| \leq \dfrac{M(b-a)^2}{2n}\).

Sur la figure, la somme à droite de \(x \mapsto x^2\) avec \(n = 5\) vaut \(\dfrac15\left(\dfrac{1}{25} + \dfrac{4}{25} + \dfrac{9}{25} + \dfrac{16}{25} + \dfrac{25}{25}\right) = 0{,}44\), un peu plus que \(\dfrac13\).

Exemple 4 : limite d’une somme

Déterminer la limite de \(u_n = \displaystyle\sum_{k=1}^{n} \dfrac{n}{n^2 + k^2}\).

On factorise : \(\dfrac{n}{n^2+k^2} = \dfrac1n\cdot\dfrac{1}{1 + (k/n)^2}\), donc \(u_n = \dfrac1n\displaystyle\sum_{k=1}^n f\!\left(\dfrac kn\right)\) avec \(f(x) = \dfrac{1}{1+x^2}\), continue sur \([0\,;1]\).

Ainsi \(u_n \to \displaystyle\int_0^1 \dfrac{dx}{1+x^2} = \arctan 1 - \arctan 0 = \dfrac{\pi}{4}\).

6. Formule de Taylor avec reste intégral

Taylor avec reste intégral

Si \(f\) est de classe \(C^{n+1}\) sur un intervalle \(I\) contenant \(a\) et \(x\) :

\[ f(x) = \sum_{k=0}^{n} \dfrac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k + \int_a^x \dfrac{(x-t)^n}{n!}\,f^{(n+1)}(t)\,dt. \]

Si \(|f^{(n+1)}| \leq M\) sur \(I\), le reste vérifie \(|R_n(x)| \leq M\,\dfrac{|x-a|^{n+1}}{(n+1)!}\).

La preuve se fait par récurrence sur \(n\) : pour passer de \(n-1\) à \(n\), on intègre le reste par parties en dérivant \(f^{(n)}\) et en intégrant \((x-t)^{n-1}/(n-1)!\). Contrairement à Taylor-Young, qui est local, cette formule est globale et donne une erreur explicite.

Exemple 5 : approcher un sinus

Pour \(f = \sin\), \(a = 0\), \(n = 4\) : \(\sin x = x - \dfrac{x^3}{6} + R_4(x)\) (le terme de degré 4 est nul) et \(|R_4(x)| \leq \dfrac{|x|^5}{120}\) car \(|\cos| \leq 1\).

Pour \(x = 0{,}5\) : \(0{,}5 - \dfrac{0{,}125}{6} \approx 0{,}47917\) avec une erreur d’au plus \(\dfrac{0{,}03125}{120} \approx 2{,}6 \times 10^{-4}\).

7. Équations différentielles linéaires d’ordre 1

Équation linéaire d’ordre 1

Soit \(a\) et \(b\) continues sur un intervalle \(I\). L’équation \((E)\) : \(y^{\prime} + a(x)\,y = b(x)\) a pour équation homogène \((H)\) : \(y^{\prime} + a(x)\,y = 0\). Si \(A\) est une primitive de \(a\), les solutions de \((H)\) sont \(y = C\,e^{-A(x)}\), avec \(C \in \mathbb{R}\).

Structure des solutions

La solution générale de \((E)\) est la somme d’une solution particulière et de la solution générale de \((H)\). Pour toute condition \(y(x_0) = y_0\) avec \(x_0 \in I\), il existe une unique solution.

Méthode

Résoudre \((H)\) et écrire \(y_H = C\,e^{-A(x)}\).
Chercher une solution particulière : forme analogue au second membre, ou variation de la constante \(y = C(x)\,e^{-A(x)}\) qui donne \(C^{\prime}(x) = b(x)\,e^{A(x)}\).
Additionner, puis déterminer la constante avec la condition initiale.

Exemple 6 : un second membre affine

Résoudre \(y^{\prime} + 2y = 6x\) avec \(y(0) = 1\).

Solutions de \((H)\) : \(y = C\,e^{-2x}\). On cherche \(y_p = \alpha x + \beta\) : \(\alpha + 2\alpha x + 2\beta = 6x\), donc \(\alpha = 3\) et \(\beta = -\dfrac32\).

Solution générale : \(y = 3x - \dfrac32 + C\,e^{-2x}\). Or \(y(0) = -\dfrac32 + C = 1\), donc \(C = \dfrac52\) et \(y(x) = 3x - \dfrac32 + \dfrac52 e^{-2x}\).

8. Équations différentielles linéaires d’ordre 2 à coefficients constants

On étudie \((E)\) : \(y^{\prime\prime} + a\,y^{\prime} + b\,y = f(x)\), avec \(a, b\) réels. L’équation caractéristique est \(r^2 + a\,r + b = 0\), de discriminant \(\Delta = a^2 - 4b\).

Solutions de l’équation homogène

Si \(\Delta > 0\), racines réelles \(r_1 \neq r_2\) : \(y = A\,e^{r_1 x} + B\,e^{r_2 x}\).
Si \(\Delta = 0\), racine double \(r\) : \(y = (A + Bx)\,e^{rx}\).
Si \(\Delta < 0\), racines \(\alpha \pm i\beta\) : \(y = e^{\alpha x}\big(A\cos \beta x + B\sin \beta x\big)\).

Avec les conditions \(y(x_0)\) et \(y^{\prime}(x_0)\) imposées, la solution est unique. La solution générale de \((E)\) est une solution particulière plus la solution générale de l’équation homogène.

Pour un second membre \(f(x) = e^{\lambda x}P(x)\), on cherche une solution particulière \(e^{\lambda x}Q(x)\) avec \(\deg Q = \deg P + m\), où \(m\) est l’ordre de \(\lambda\) comme racine de l’équation caractéristique (\(0\), \(1\) ou \(2\)).

Exemple 7 : oscillation amortie

Résoudre \(y^{\prime\prime} + 2y^{\prime} + 5y = 0\) avec \(y(0) = 1\) et \(y^{\prime}(0) = 0\).

\(r^2 + 2r + 5 = 0\) a pour discriminant \(4 - 20 = -16\), donc \(r = -1 \pm 2i\) et \(y = e^{-x}(A\cos 2x + B\sin 2x)\).

\(y(0) = A = 1\). Puis \(y^{\prime}(0) = -A + 2B = 0\), donc \(B = \dfrac12\) : \(y(x) = e^{-x}\left(\cos 2x + \dfrac12\sin 2x\right)\).

La courbe oscille mais l’amplitude décroît comme \(e^{-x}\) : c’est le comportement d’un ressort avec frottement.

À retenir

L’intégrale est une aire algébrique ; elle est linéaire, croissante et vérifie la relation de Chasles.
\(\displaystyle\int_a^b f = F(b) - F(a)\) pour toute primitive \(F\) d’une fonction continue \(f\).
Parties : \(\displaystyle\int_a^b uv^{\prime} = [uv]_a^b - \int_a^b u^{\prime}v\) ; changement de variable : on change aussi les bornes.
Somme de Riemann : \(\dfrac1n\displaystyle\sum_{k=1}^n f\!\left(\dfrac kn\right) \to \int_0^1 f\) pour \(f\) continue.
Taylor avec reste intégral : reste \(\displaystyle\int_a^x \dfrac{(x-t)^n}{n!}f^{(n+1)}(t)\,dt\), majoré par \(M\,|x-a|^{n+1}/(n+1)!\).
Ordre 1 : \(y = y_p + C\,e^{-A(x)}\) ; ordre 2 : on lit la solution homogène sur les racines de \(r^2 + ar + b = 0\).