Les vecteurs du plan, les polynômes, les matrices, les fonctions continues : tous ces objets s’additionnent et se multiplient par un réel, et ils obéissent aux mêmes règles. L’algèbre linéaire isole ces règles et en tire une théorie unique, avec un vocabulaire (sous-espace, base, dimension, noyau, image) qui sert dans toute la suite des mathématiques. Ce chapitre construit ces outils et démontre le résultat central : le théorème du rang.
1. Espaces vectoriels et sous-espaces
Un espace vectoriel (ev) sur \(\mathbb{R}\) est un ensemble \(E\) muni d’une addition \(+\) pour laquelle \((E,+)\) est un groupe commutatif (élément neutre \(0_E\)), et d’une multiplication par les réels vérifiant, pour tous \(u,v \in E\) et \(\lambda,\mu \in \mathbb{R}\) : \(\lambda(u+v)=\lambda u+\lambda v\), \((\lambda+\mu)u=\lambda u+\mu u\), \((\lambda\mu)u=\lambda(\mu u)\) et \(1\cdot u=u\).
Exemples usuels : \(\mathbb{R}^n\), l’ensemble \(\mathbb{R}[X]\) des polynômes, l’ensemble \(\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{R})\) des matrices, l’ensemble des suites réelles, l’ensemble des fonctions de \(\mathbb{R}\) dans \(\mathbb{R}\).
Une partie \(F\) de \(E\) est un sous-espace vectoriel (sev) de \(E\) si et seulement si \(0_E \in F\) et, pour tous \(u,v \in F\) et tous \(\lambda,\mu \in \mathbb{R}\), \(\lambda u + \mu v \in F\).
Soit \(F=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid x+2y-z=0\}\). Le triplet nul vérifie l’équation, donc \(0\in F\). Si \((x,y,z)\) et \((x',y',z')\) sont dans \(F\), alors \((\lambda x+\mu x') + 2(\lambda y+\mu y') - (\lambda z+\mu z') = \lambda\cdot 0 + \mu\cdot 0 = 0\) : la combinaison est dans \(F\). Ainsi \(F\) est un sev de \(\mathbb{R}^3\) (un plan).
Une droite qui ne passe pas par l’origine n’est pas un sev (la droite orange de la figure) : elle ne contient pas \(0\). L’intersection de deux sev est un sev, mais la réunion de deux sev n’en est en général pas un.
2. Combinaisons linéaires et sous-espace engendré
Une combinaison linéaire de \(u_1,\dots,u_p\) est un vecteur \(\lambda_1u_1+\dots+\lambda_pu_p\). L’ensemble de ces combinaisons est noté \(\operatorname{Vect}(u_1,\dots,u_p)\) : c’est le plus petit sev de \(E\) contenant tous les \(u_i\), appelé sev engendré. Dans \(\mathbb{R}^2\), \(\operatorname{Vect}(u)\) est la droite dirigée par \(u\) si \(u\neq 0\).
3. Familles libres, génératrices, bases
Une famille \((u_1,\dots,u_p)\) est libre si \(\lambda_1u_1+\dots+\lambda_pu_p=0\) entraîne \(\lambda_1=\dots=\lambda_p=0\) ; elle est liée sinon. Elle est génératrice de \(E\) si \(\operatorname{Vect}(u_1,\dots,u_p)=E\). Une base est une famille à la fois libre et génératrice.
Si \((e_1,\dots,e_n)\) est une base de \(E\), tout vecteur \(u\) s’écrit de façon unique \(u=x_1e_1+\dots+x_ne_n\) ; les \(x_i\) sont les coordonnées de \(u\) dans cette base.
- Écrire \(\lambda_1u_1+\dots+\lambda_pu_p=0\).
- En déduire un système sur les \(\lambda_i\) en projetant sur les coordonnées.
- Montrer que la seule solution est \(\lambda_1=\dots=\lambda_p=0\).
Dans \(\mathbb{R}^3\), soit \(u_1=(1,1,0)\), \(u_2=(0,1,1)\), \(u_3=(1,0,1)\). L’égalité \(au_1+bu_2+cu_3=0\) donne \(a+c=0\), \(a+b=0\), \(b+c=0\). On en tire \(c=-a\), \(b=-a\), puis \(b+c=-2a=0\), donc \(a=b=c=0\) : la famille est libre.
Deux vecteurs sont liés exactement quand l’un est un multiple de l’autre : sur la figure, \(u\) et \(v\) pointent dans des directions différentes, donc ils sont libres, et \(u+v\) est la diagonale du parallélogramme qu’ils engendrent.
4. Dimension finie
Un ev admettant une famille génératrice finie possède des bases, et toutes ont le même nombre d’éléments : c’est sa dimension, notée \(\dim E\). Si \(\dim E=n\), alors toute famille libre a au plus \(n\) vecteurs, toute famille génératrice en a au moins \(n\), et une famille libre (ou génératrice) de \(n\) vecteurs est une base.
On a \(\dim\mathbb{R}^n=n\), \(\dim\mathbb{R}_n[X]=n+1\) (base \((1,X,\dots,X^n)\)) et \(\dim\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{R})=np\). Si \(F\) est un sev de \(E\), alors \(\dim F\leqslant\dim E\), avec égalité si et seulement si \(F=E\).
Pour deux sev \(F\) et \(G\) de dimension finie : \(\dim(F+G)=\dim F+\dim G-\dim(F\cap G)\).
5. Applications linéaires
Une application \(f:E\to F\) est linéaire si, pour tous \(u,v\in E\) et \(\lambda,\mu\in\mathbb{R}\), \(f(\lambda u+\mu v)=\lambda f(u)+\mu f(v)\). On note \(\mathcal{L}(E,F)\) leur ensemble ; un endomorphisme est une application linéaire de \(E\) dans \(E\), un isomorphisme est une application linéaire bijective.
Une application linéaire vérifie toujours \(f(0_E)=0_F\), et la composée de deux applications linéaires est linéaire. Une application linéaire est entièrement déterminée par l’image d’une base.
\(f(0)=0\) est une condition nécessaire, pas suffisante : \((x,y)\mapsto(xy,x)\) envoie \(0\) sur \(0\) et n’est pas linéaire, car \(f(2\cdot(1,1))=(4,2)\neq 2f(1,1)=(2,2)\).
6. Noyau et image
Pour \(f\in\mathcal{L}(E,F)\) : \(\operatorname{Ker} f=\{u\in E\mid f(u)=0_F\}\) et \(\operatorname{Im} f=\{f(u)\mid u\in E\}\). Ce sont des sev de \(E\) et de \(F\) respectivement.
| Propriété de f : E → F | Condition équivalente | Lecture |
|---|---|---|
| f injective | \(\operatorname{Ker} f = \{0_E\}\) | aucun vecteur non nul n’est envoyé sur 0 |
| f surjective | \(\operatorname{Im} f = F\) | tout vecteur de F a un antécédent |
| f bijective (isomorphisme) | injective et surjective | f admet une réciproque linéaire |
Si \((e_1,\dots,e_n)\) est une base de \(E\), alors \(\operatorname{Im} f=\operatorname{Vect}(f(e_1),\dots,f(e_n))\). L’équivalence « \(f\) injective \(\Leftrightarrow\operatorname{Ker} f=\{0_E\}\) » vient de la linéarité : \(f(u)=f(v)\Leftrightarrow f(u-v)=0\).
Soit \(f:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^2\), \(f(x,y,z)=(x+y-z,\,2x-y+z)\). Si \(f(x,y,z)=0\), on additionne les deux équations : \(3x=0\), donc \(x=0\) et \(z=y\). Ainsi \(\operatorname{Ker} f=\operatorname{Vect}((0,1,1))\), de dimension \(1\). Comme \(f(1,0,0)=(1,2)\) et \(f(0,1,0)=(1,-1)\) ne sont pas colinéaires, \(\operatorname{Im} f=\mathbb{R}^2\).
7. Le théorème du rang
Le rang d’une application linéaire est la dimension de son image : \(\operatorname{rg} f=\dim\operatorname{Im} f\).
Si \(E\) est de dimension finie et \(f\in\mathcal{L}(E,F)\), alors \(\dim E=\dim\operatorname{Ker} f+\operatorname{rg} f\).
Idée de la preuve. On complète une base de \(\operatorname{Ker} f\) en une base de \(E\) ; les images des vecteurs ajoutés forment une base de \(\operatorname{Im} f\).
Dans l’exemple 3, \(3=1+2\). Conséquence : si \(\dim E=\dim F=n\), alors \(f\) injective \(\Leftrightarrow\) \(f\) surjective \(\Leftrightarrow\) \(f\) bijective. Cette équivalence est fausse en dimension infinie.
8. Somme directe et projecteurs
La somme \(F+G=\{u+v\mid u\in F,\,v\in G\}\) est directe si \(F\cap G=\{0\}\) ; on note \(F\oplus G\). Si de plus \(F\oplus G=E\), les sev \(F\) et \(G\) sont supplémentaires : tout \(u\in E\) s’écrit de façon unique \(u=v+w\) avec \(v\in F\), \(w\in G\), et \(\dim E=\dim F+\dim G\).
Un projecteur de \(E\) est un endomorphisme \(p\) tel que \(p\circ p=p\). Alors \(E=\operatorname{Ker} p\oplus\operatorname{Im} p\), et \(p\) est la projection sur \(\operatorname{Im} p\) parallèlement à \(\operatorname{Ker} p\).
En effet, \(u=(u-p(u))+p(u)\) avec \(p(u-p(u))=p(u)-p(p(u))=0\), et si \(v=p(w)\) est aussi dans \(\operatorname{Ker} p\), alors \(v=p(p(w))=p(v)=0\).
Dans \(\mathbb{R}^2\), soit \(D=\operatorname{Vect}((1,1))\) et \(E'=\operatorname{Vect}((1,2))\). Ces deux droites sont distinctes, donc supplémentaires. Pour \(M=(3,4)\), on cherche \(a(1,1)+b(1,2)=(3,4)\) : \(a+b=3\), \(a+2b=4\), donc \(b=1\) et \(a=2\). La projection sur \(D\) parallèlement à \(E'\) envoie \(M\) sur \((2,2)\), et l’autre composante est \((1,2)\).
À retenir
- \(F\) est un sev de \(E\) si \(0\in F\) et si \(F\) est stable par combinaisons linéaires.
- Une base est libre et génératrice ; tout vecteur y a des coordonnées uniques ; toutes les bases ont \(\dim E\) éléments.
- En dimension \(n\) : une famille libre de \(n\) vecteurs, ou génératrice de \(n\) vecteurs, est une base.
- Grassmann : \(\dim(F+G)=\dim F+\dim G-\dim(F\cap G)\).
- \(f\) linéaire : \(f\) injective \(\Leftrightarrow\operatorname{Ker} f=\{0\}\) ; \(f\) surjective \(\Leftrightarrow\operatorname{Im} f=F\).
- Théorème du rang : \(\dim E=\dim\operatorname{Ker} f+\operatorname{rg} f\).
- Projecteur : \(p\circ p=p\) et \(E=\operatorname{Ker} p\oplus\operatorname{Im} p\).
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