Arithmétique et polynômes : corrigé du contrôle de maths Maths Sup à télécharger en PDF

1 Division et PGCD / 4 pts

a) \(47 \times 74 = 3478\), donc \(3482 = 47 \times 74 + 4\) avec \(0 \leq 4 < 47\) (1 pt).

b) \(2310 = 4 \times 546 + 126\) ; \(546 = 4 \times 126 + 42\) ; \(126 = 3 \times 42\). Le PGCD est \(42\) (1,5 pt).

c) \(42 = 546 - 4 \times 126 = 546 - 4(2310 - 4 \times 546) = 17 \times 546 - 4 \times 2310\). Donc \(u = -4\), \(v = 17\) (1,5 pt). Contrôle : \(9282 - 9240 = 42\).

2 Décomposition et diviseurs / 3 pts

a) \(4680 = 8 \times 585 = 8 \times 9 \times 65 = 2^3 \times 3^2 \times 5 \times 13\) (1,5 pt).

b) Nombre de diviseurs : \((3 + 1)(2 + 1)(1 + 1)(1 + 1) = 4 \times 3 \times 2 \times 2 = 48\) (1,5 pt).

3 Équation diophantienne / 3 pts

\(11 = 7 + 4\), \(7 = 4 + 3\), \(4 = 3 + 1\), d’où \(1 = 4 - 3 = 2 \times 4 - 7 = 2 \times 11 - 3 \times 7\) (1,5 pt pour l’identité de Bézout).

Une solution particulière de \(11x + 7y = 3\) est \((-1, 2)\) : \(-11 + 14 = 3\). Si \((x, y)\) est solution, \(11(x + 1) = -7(y - 2)\) et Gauss (\(11 \wedge 7 = 1\)) donne \(x = -1 + 7k\), \(y = 2 - 11k\), \(k \in \mathbb{Z}\) (1,5 pt pour la résolution complète avec vérification).

4 Division de polynômes / 4 pts

a) \(X^2 B = X^4 + X^3 + X^2\), reste partiel \(-3X^3 - X^2 + X - 3\) ; \(-3X \cdot B = -3X^3 - 3X^2 - 3X\), reste partiel \(2X^2 + 4X - 3\) ; \(2B = 2X^2 + 2X + 2\), reste \(2X - 5\). Donc \(Q = X^2 - 3X + 2\) et \(R = 2X - 5\) (2,5 pt).

b) Le reste est la constante \(A(2) = 16 - 16 + 2 - 3 = -1\) (1,5 pt).

5 Multiplicité et factorisation / 3 pts

a) \(P(1) = 1 - 6 + 9 - 4 = 0\) ; \(P' = 3X^2 - 12X + 9\), \(P'(1) = 0\) ; \(P'' = 6X - 12\), \(P''(1) = -6 \neq 0\). Donc \(1\) est racine de multiplicité exactement \(2\) (1,5 pt).

b) La somme des racines vaut \(6\) : la troisième racine est \(6 - 1 - 1 = 4\). Donc \(P = (X - 1)^2 (X - 4)\) ; on vérifie \((X^2 - 2X + 1)(X - 4) = X^3 - 6X^2 + 9X - 4\) (1,5 pt).

6 Factorisation et relations coefficients-racines / 3 pts

a) \(X^4 - 16 = (X^2 - 4)(X^2 + 4) = (X - 2)(X + 2)(X^2 + 4)\) dans \(\mathbb{R}[X]\) ; dans \(\mathbb{C}[X]\) : \((X - 2)(X + 2)(X - 2i)(X + 2i)\) (1,5 pt).

b) Somme : \((2 + 3i) + (2 - 3i) = 4 = -\dfrac{-4}{1}\). Produit : \((2 + 3i)(2 - 3i) = 4 + 9 = 13 = \dfrac{13}{1}\) (1,5 pt).