Singularités et théorème des résidus : exercices de maths Licence L3 à télécharger en PDF

1 Laurent de l’exponentielle inverse ★★★

Écrire le développement de Laurent de \(f(z) = e^{1/z}\) sur \(\mathbb{C}^*\). Quelle est la nature de la singularité en \(0\) ? Quel est le résidu de \(f\) en \(0\) ?

2 Une singularité effaçable ★★★

Soit \(f(z) = \dfrac{\sin 3z}{z}\) pour \(z \ne 0\). Montrer que \(0\) est une singularité effaçable et donner la valeur du prolongement en \(0\).

3 Pôles et résidus de 1/(z²+4) ★★★

Déterminer les singularités de \(f(z) = \dfrac{1}{z^2+4}\), leur nature et leurs résidus.

4 Deux résidus d’une fraction ★★★

Calculer les résidus de \(f(z) = \dfrac{z+2}{(z-1)(z-3)}\) en ses pôles, puis leur somme.

5 Indice d’un cercle orienté ★★★

Soit \(\gamma\) le cercle de centre \(1\) et de rayon \(2\), parcouru une fois dans le sens des aiguilles d’une montre. Déterminer \(n(\gamma,0)\), \(n(\gamma,2)\) et \(n(\gamma,4)\). En déduire \(\displaystyle\oint_\gamma \frac{dz}{z-2}\).

6 Deux intégrales sur le cercle unité ★★★

Le cercle unité est parcouru une fois dans le sens direct. Calculer (a) \(\displaystyle\oint \frac{e^z}{z}\,dz\) ; (b) \(\displaystyle\oint \frac{\cos z}{z^3}\,dz\).

7 Ordre d’un pôle et résidu ★★★

Soit \(f(z) = \dfrac{1}{z(e^z-1)}\). Quel est l’ordre du pôle en \(0\) ? Calculer \(\operatorname{Res}(f,0)\).

8 Deux développements de 1/(z(z−1)) ★★★

Soit \(f(z) = \dfrac{1}{z(z-1)}\). Donner le développement de Laurent de \(f\) (a) sur \(0 \lt |z| \lt 1\) ; (b) sur \(|z| \gt 1\). Quel est le coefficient de \(z^{-1}\) dans chacun ?

9 Résidus en un pôle multiple ★★★

Calculer (a) le résidu en \(0\) de \(\dfrac{e^{2z}}{z^3}\) ; (b) le résidu en \(1\) de \(\dfrac{e^z}{(z-1)^2}\).

10 Résidu au carré et intégrale ★★★

Calculer le résidu de \(f(z) = \dfrac{1}{(z^2+1)^2}\) en \(i\), puis en déduire \(\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{dx}{(1+x^2)^2}\).

11 Résidu de 1/(z² sin z) ★★★

Calculer \(\operatorname{Res}\left(\dfrac{1}{z^2\sin z},0\right)\).

12 Pôles de 1/(e^z − 1) ★★★

Montrer que \(f(z) = \dfrac{1}{e^z-1}\) est méromorphe sur \(\mathbb{C}\), déterminer ses pôles et leurs résidus, et donner les trois premiers termes de son développement de Laurent en \(0\).

13 Une intégrale trigonométrique ★★★

Calculer \(\displaystyle\int_0^{2\pi}\frac{d\theta}{5+3\cos\theta}\) avec le théorème des résidus.

14 Produit de deux fractions ★★★

Calculer \(\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{dx}{(x^2+1)(x^2+4)}\) par les résidus, puis vérifier par décomposition en éléments simples.

15 Une intégrale de Fourier ★★★

Calculer \(\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{\cos x}{x^2+9}\,dx\).

16 Intégrale de 1/(x⁴+1) sur [0 ; +∞[ ★★★

Calculer \(\displaystyle\int_0^{+\infty}\frac{dx}{x^4+1}\).

17 Cercle et trois pôles ★★★

Calculer \(\displaystyle\oint_{|z|=3}\frac{2z+1}{(z-1)(z+2)(z-5)}\,dz\), le cercle étant parcouru une fois dans le sens direct.

18 Lacet à boucle intérieure ★★★

Le lacet \(\gamma\) est le limaçon \(\gamma(t) = \left(\tfrac{1}{2}+\cos t\right)e^{it}\), \(t \in [0,2\pi]\) (figure). On admet que \(n(\gamma,A) = 2\) pour \(A = \tfrac{1}{4}\) et \(n(\gamma,B) = 1\) pour \(B = 1\). Calculer \(\displaystyle\oint_\gamma\frac{dz}{(z-\tfrac14)(z-1)}\).

19 Casorati sur e^{1/z} ★★★

Soit \(f(z) = e^{1/z}\). (a) Pour tout \(c \in \mathbb{C}^*\), construire une suite \(z_n \to 0\) telle que \(f(z_n) = c\). (b) Construire une suite \(w_n \to 0\) avec \(f(w_n) \to 0\). (c) En déduire que \(f\) n’a pas de limite en \(0\) et que l’image de tout disque épointé est dense dans \(\mathbb{C}\).

20 Intégrale de 1/(2 + cos θ)² ★★★

Calculer \(\displaystyle\int_0^{2\pi}\frac{d\theta}{(2+\cos\theta)^2}\).

21 Intégrale de x sin x/(x²+1) ★★★

Montrer que \(\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{x\sin x}{x^2+1}\,dx = \frac{\pi}{e}\) (intégrale semi-convergente, qu’on admet convergente).