22 exercices classés par difficulté (★ facile, ★★ moyen, ★★★ difficile). Cherche d’abord sans regarder le corrigé !
1 Dériver une intégrale polynomiale ★★★
Soit \(F(x)=\int_0^1 (xt+t^2)\,dt\). Calcule \(F(x)\), puis \(F'(x)\), et compare avec \(\int_0^1\dfrac{\partial}{\partial x}(xt+t^2)\,dt\).
2 Fubini sur un rectangle ★★★
Calcule \(I=\iint_{[0,1]\times[0,2]}3x^2y\,dx\,dy\).
3 Premières valeurs de Gamma ★★★
Donne la valeur exacte de \(\Gamma(4)\), \(\Gamma(6)\), \(\Gamma(\tfrac32)\) et \(\Gamma(\tfrac52)\).
4 Mesures de produits ★★★
Calcule la mesure de Lebesgue plane de : (a) \([0,3]\times[1,5]\) ; (b) \(\big([0,2]\cup[5,6]\big)\times[-1,1]\) ; (c) \(\{0\}\times[0,10]\).
5 Intégrales en exponentielle ★★★
Calcule \(\int_0^{+\infty}t\,e^{-3t}\,dt\) et \(\int_0^{+\infty}t^3e^{-2t}\,dt\) à l’aide de la fonction \(\Gamma\).
6 Vrai ou faux ? ★★★
Justifie chaque réponse. (a) Si \(f\ge 0\) est mesurable sur \(\mathbb R^2\), alors \(\int\!\!\int f\,dx\,dy=\int\!\!\int f\,dy\,dx\), même si ces quantités valent \(+\infty\). (b) \(\Gamma(0)\) est définie par la formule intégrale. (c) Pour tout \(x>0\), \(\Gamma(x)>0\).
7 Aire d’un disque en polaires ★★★
Calcule l’aire du disque de centre \(O\) et de rayon \(3\) par changement de variables en polaires.
8 Continuité et dérivabilité ★★★
Soit \(F(x)=\int_0^{+\infty}e^{-t}\cos(xt)\,dt\). (a) Montre que \(F\) est continue sur \(\mathbb R\). (b) Montre que \(F\) est de classe \(C^1\) et exprime \(F'\). (c) Calcule \(F(0)\) et \(F'(0)\).
9 Inverser deux intégrales ★★★
Calcule \(I=\int_0^1\Big(\int_y^1\cos(x^2)\,dx\Big)dy\) en inversant l’ordre d’intégration. Donne une valeur approchée à \(10^{-3}\) près.
10 Un triangle ★★★
Soit \(T=\{(x,y)\;:\;0\le x\le y\le1\}\). Calcule \(\iint_T(x+y)\,dx\,dy\), puis vérifie ton résultat par un argument de symétrie sur le carré \([0,1]^2\).
11 Gamma et substitutions ★★★
Calcule (a) \(\int_0^{+\infty}\sqrt t\,e^{-t}\,dt\) ; (b) \(\int_0^{+\infty}u^4e^{-u^2}\,du\) (poser \(t=u^2\)).
12 Quart de disque ★★★
Soit \(D=\{(x,y)\;:\;x\ge0,\ y\ge0,\ x^2+y^2\le1\}\). Calcule \(\iint_D xy\,dx\,dy\) en polaires, puis vérifie par Fubini en coordonnées cartésiennes.
13 Quand la domination échoue ★★★
Pour \(x\ge0\), soit \(F(x)=\int_0^{+\infty}x\,e^{-xt}\,dt\). Calcule \(F(x)\) pour \(x>0\) et pour \(x=0\). La fonction \(F\) est-elle continue en \(0\) ? Explique pourquoi le théorème de continuité ne s’applique pas.
14 Espérance du minimum ★★★
Deux nombres \(X\) et \(Y\) sont tirés indépendamment et uniformément dans \([0,1]\). Leur loi conjointe a pour densité \(1\) sur le carré unité. Calcule \(E[\min(X,Y)]\) et \(E[\max(X,Y)]\).
15 Un contre-exemple à Fubini ★★★
Sur \(]0,1]^2\), soit \(f(x,y)=\dfrac{x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2}\). (a) Calcule \(\int_0^1f(x,y)\,dy\) pour \(x\in]0,1]\), puis \(\int_0^1\Big(\int_0^1f\,dy\Big)dx\). (b) Calcule l’intégrale itérée dans l’autre ordre. (c) Conclus sur l’intégrabilité de \(f\).
16 L’intégrale de Gauss ★★★
Montre que \(\int_{\mathbb R}e^{-x^2}dx=\sqrt\pi\) puis que \(\int_{\mathbb R}e^{-x^2/2}dx=\sqrt{2\pi}\).
17 Gamma : continuité et factorielle ★★★
(a) Soit \([a,b]\subset]0,+\infty[\). Trouve une majorante intégrable de \(t^{x-1}e^{-t}\) valable pour tout \(x\in[a,b]\), et déduis la continuité de \(\Gamma\). (b) Montre \(\Gamma(x+1)=x\Gamma(x)\) puis \(\Gamma(n+1)=n!\).
18 Une équation différentielle par dérivation ★★★
Soit \(F(x)=\int_0^{+\infty}e^{-t^2}\cos(xt)\,dt\). (a) Justifie que \(F\) est \(C^1\) et écris \(F'(x)\). (b) Par une intégration par parties, montre que \(F'(x)=-\dfrac x2F(x)\). (c) Déduis \(F(x)\) en admettant \(\int_0^{+\infty}e^{-t^2}dt=\dfrac{\sqrt\pi}{2}\).
19 Volume d’une boule par tranches ★★★
Dans \(\mathbb R^3\), calcule le volume de la boule de rayon \(2\) en intégrant l’aire de ses sections par des plans \(z=\text{constante}\).
20 La fonction Bêta ★★★
Pour \(a,b>0\), \(B(a,b)=\int_0^1t^{a-1}(1-t)^{b-1}dt\). On admet \(B(a,b)=\dfrac{\Gamma(a)\Gamma(b)}{\Gamma(a+b)}\) (preuve par Tonelli et changement de variables). (a) Vérifie la formule pour \((a,b)=(2,3)\). (b) Calcule \(B(\tfrac12,\tfrac12)\) par la formule, puis directement avec \(t=\sin^2\theta\).
21 Convolution de deux indicatrices ★★★
Soit \(f=\mathbf 1_{[0,1]}\) et \((f*f)(x)=\int_{\mathbb R}f(t)f(x-t)\,dt\). (a) Calcule \((f*f)(x)\) pour tout \(x\). (b) Par Tonelli, calcule \(\int_{\mathbb R}(f*f)(x)\,dx\) sans utiliser (a), puis vérifie avec (a).
22 Une série d’intégrales ★★★
Montre que \(\int_0^1\dfrac{-\ln x}{1-x}\,dx=\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac1{n^2}\), puis donne sa valeur en admettant \(\sum_{n\ge1}\dfrac1{n^2}=\dfrac{\pi^2}{6}\).
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