Espaces Lp et espaces de Hilbert : corrigé du contrôle de maths Licence L3 à télécharger en PDF

1 Normes et inégalités dans \(\mathbb R^3\) / 4 pts

(a) \(\|x\|_1=5\), \(\|x\|_2=\sqrt{1+4+4}=3\), \(\|x\|_\infty=2\), \(\|y\|_2=\sqrt{9+16}=5\). (1 pt)

(b) \(\langle x,y\rangle=3+0-8=-5\) et \(|{-5}|\le3\times5=15\). (1 pt)

(c) \(x+y=(4,-2,-2)\), \(\|x+y\|_2=\sqrt{24}\approx4{,}90\le3+5=8\). (1 pt)

(d) \(\|x\|_1\|y\|_\infty=5\times4=20\ge|\langle x,y\rangle|=5\). (1 pt)

2 Intégrabilité d’une puissance / 3 pts

(a) \(\int_0^1x^{-2p/5}dx\) converge si et seulement si \(\dfrac{2p}5\lt1\), soit \(p\lt\dfrac52\). (1 pt)

(b) \(\|f\|_1=\int_0^1x^{-2/5}dx=\dfrac53\). \(\|f\|_2^2=\int_0^1x^{-4/5}dx=5\), donc \(\|f\|_2=\sqrt5\). (1 pt)

(c) \(3\gt\tfrac52\), donc \(\int_0^1x^{-6/5}dx\) diverge : \(f\notin L^3\). (1 pt)

3 Projection orthogonale dans \(L^2\) / 4 pts

(a) \(\langle f,g\rangle=\int_0^1t^3dt=\dfrac14\) et \(\|g\|^2=\int_0^1t^2dt=\dfrac13\). (1,5 pt)

(b) \(p_F(f)=\dfrac{\langle f,g\rangle}{\|g\|^2}g=\dfrac34\,t\). (1 pt)

(c) \(\|f\|^2=\dfrac15\) et \(\|p_F(f)\|^2=\dfrac9{16}\cdot\dfrac13=\dfrac3{16}\). Donc \(\operatorname{d}(f,F)^2=\dfrac15-\dfrac3{16}=\dfrac1{80}\). (1,5 pt)

4 Base hilbertienne et Parseval / 4 pts

(a) \(\|e_1\|^2=\dfrac2\pi\int_0^\pi\sin^2t\,dt=\dfrac2\pi\cdot\dfrac\pi2=1\). (1 pt)

(b) \(\int_0^\pi t\sin(nt)\,dt=\Big[-\dfrac{t\cos(nt)}n\Big]_0^\pi+\dfrac1n\int_0^\pi\cos(nt)\,dt=\dfrac{\pi(-1)^{n+1}}n\). On multiplie par \(\sqrt{2/\pi}\) : \(\langle f,e_n\rangle=\sqrt{2\pi}\,\dfrac{(-1)^{n+1}}n\). (1,5 pt)

(c) Parseval : \(\sum\dfrac{2\pi}{n^2}=\|f\|^2=\int_0^\pi t^2dt=\dfrac{\pi^3}3\), donc \(\sum_{n\ge1}\dfrac1{n^2}=\dfrac{\pi^2}6\). (1,5 pt)

5 Théorème de Riesz / 3 pts

(a) \(a(t)=1+t\). (1 pt)

(b) \(\|\varphi\|^2=\|a\|^2=\int_0^1(1+t)^2dt=\dfrac{8-1}3=\dfrac73\), donc \(\|\varphi\|=\sqrt{7/3}\approx1{,}528\). (1 pt)

(c) \(f=\dfrac a{\|a\|}=\sqrt{\dfrac37}(1+t)\) convient. Pour \(f=1\) : \(\varphi(1)=\int_0^1(1+t)dt=\dfrac32=1{,}5\le1{,}528\). (1 pt)

6 Vrai ou faux / 2 pts

(a) Faux : avec \(x=(1,0)\), \(y=(0,1)\), \(\|x+y\|_1^2+\|x-y\|_1^2=8\ne4=2\|x\|_1^2+2\|y\|_1^2\). L’identité du parallélogramme n’est pas vérifiée, donc la norme ne vient pas d’un produit scalaire. (1 pt)

(b) Vrai : c’est l’inégalité de Bessel, valable pour toute famille orthonormée (l’égalité de Parseval demande une base hilbertienne). (1 pt)