Espaces Lp et espaces de Hilbert : exercices corrigés de maths Licence L3 à télécharger en PDF

1 Normes de la fonction identité ★★★

Pour \(p\ge1\), \(\int_0^1 x^p\,dx=\dfrac1{p+1}\), donc \(\|f\|_p=\Big(\dfrac1{p+1}\Big)^{1/p}\).

\(\|f\|_1=\dfrac12\), \(\|f\|_2=\dfrac1{\sqrt3}\approx0{,}577\), \(\|f\|_4=\Big(\dfrac15\Big)^{1/4}\approx0{,}669\).

Donc \(\|f\|_1\lt\|f\|_2\lt\|f\|_4\) : sur un espace de mesure 1, la norme \(\|\cdot\|_p\) croît avec \(p\).

2 Trois normes d’un vecteur ★★★

\(\|x\|_1=3+4+12=19\). \(\|x\|_2=\sqrt{9+16+144}=\sqrt{169}=13\). \(\|x\|_\infty=\max(3,4,12)=12\).

On constate \(\|x\|_\infty\le\|x\|_2\le\|x\|_1\), conformément à l’inclusion \(\ell^p\subset\ell^q\) pour \(p\le q\).

3 Cauchy–Schwarz et Minkowski sur un exemple ★★★

\(\langle x,y\rangle=4-2+6=8\), \(\|x\|_2=\sqrt{14}\), \(\|y\|_2=\sqrt{21}\).

Cauchy–Schwarz : \(|8|\le\sqrt{14\times21}=\sqrt{294}\approx17{,}15\). Vrai.

Minkowski : \(x+y=(5,1,5)\), donc \(\|x+y\|_2=\sqrt{51}\approx7{,}14\), et \(\|x\|_2+\|y\|_2\approx3{,}74+4{,}58=8{,}32\). On a bien \(7{,}14\le8{,}32\).

4 Pourquoi p = 1/2 ne donne pas une norme ★★★

\(N(x)=1\), \(N(y)=1\), mais \(x+y=(1,1)\) et \(N(x+y)=(1+1)^2=4\).

Comme \(4\gt N(x)+N(y)=2\), l’inégalité triangulaire est fausse : \(N\) n’est pas une norme. C’est la raison pour laquelle on impose \(p\ge1\).

5 La norme 1 n’est pas euclidienne ★★★

\(\|x+y\|_1=2\) et \(\|x-y\|_1=2\), donc \(\|x+y\|_1^2+\|x-y\|_1^2=8\).

D’autre part \(2\|x\|_1^2+2\|y\|_1^2=2+2=4\). Les deux membres diffèrent : la norme \(\|\cdot\|_1\) ne provient d’aucun produit scalaire.

6 Projeter sur la droite des vecteurs constants ★★★

\(p_F(x)=\dfrac{\langle x,u\rangle}{\|u\|^2}u=\dfrac{10}{4}u=(2{,}5;2{,}5;2{,}5;2{,}5)\).

Alors \(x-p_F(x)=(-1{,}5;-0{,}5;0{,}5;1{,}5)\), et \(\operatorname{d}(x,F)^2=2{,}25+0{,}25+0{,}25+2{,}25=5\), donc \(\operatorname{d}(x,F)=\sqrt5\approx2{,}24\).

7 Un bord d’intégrabilité ★★★

\(\int_0^1x^{-p/2}dx\) converge si et seulement si \(\dfrac p2\lt1\), c’est-à-dire \(p\lt2\). Donc \(f\in L^p\) pour \(1\le p\lt2\) seulement.

\(\|f\|_1=\int_0^1x^{-1/2}dx=\big[2\sqrt x\big]_0^1=2\).

Sur \([1,+\infty[\), \(\int_1^{+\infty}x^{-1}dx\) diverge, donc \(f\notin L^2([1,+\infty[)\) ; en revanche \(f\in L^p([1,+\infty[)\) dès que \(p\gt2\).

8 Inclusion \(L^3\subset L^2\) sur [0,1] ★★★

Les exposants \(\tfrac32\) et \(3\) sont conjugués car \(\tfrac23+\tfrac13=1\). Alors
\[\int_0^1|f|^2\cdot1\,dx\le\Big(\int_0^1|f|^{3}\Big)^{2/3}\Big(\int_0^11^3\Big)^{1/3}=\|f\|_3^2.\]
D’où \(\|f\|_2\le\|f\|_3\), et en particulier \(L^3\subset L^2\).

Pour \(f(x)=x\) : \(\|f\|_2=\dfrac1{\sqrt3}\approx0{,}577\) et \(\|f\|_3=\Big(\dfrac14\Big)^{1/3}\approx0{,}630\). On a bien \(0{,}577\le0{,}630\).

9 Une somme de série par Cauchy–Schwarz ★★★

\(\|b\|_2^2=\sum_{n\ge1}4^{-n}=\dfrac{1/4}{1-1/4}=\dfrac13\), donc \(\|b\|_2=\dfrac1{\sqrt3}\).

Alors \(\|a\|_2\|b\|_2=\dfrac\pi{\sqrt6\sqrt3}=\dfrac\pi{3\sqrt2}\approx0{,}740\), tandis que \(\sum a_nb_n=\ln2\approx0{,}693\).

Comme \(0{,}693\le0{,}740\), l’inégalité est vérifiée (et stricte car \(a\) et \(b\) ne sont pas proportionnelles).

10 Norme d’une forme linéaire sur \(L^2\) ★★★

On a \(\varphi(f)=\langle f,a\rangle\) avec \(a(t)=1-t\in L^2\). Par Cauchy–Schwarz, \(|\varphi(f)|\le\|a\|_2\|f\|_2\) : \(\varphi\) est continue et, d’après Riesz, \(\|\varphi\|=\|a\|_2\).

\(\|a\|_2^2=\int_0^1(1-t)^2dt=\dfrac13\), donc \(\|\varphi\|=\dfrac1{\sqrt3}\).

Prenons \(f=\dfrac a{\|a\|_2}=\sqrt3\,(1-t)\) : \(\|f\|_2=1\) et \(\varphi(f)=\sqrt3\cdot\dfrac13=\dfrac1{\sqrt3}\). La borne est atteinte.

11 Meilleure approximation par une constante ★★★

Les constantes forment \(F=\operatorname{Vect}(1)\), avec \(\|1\|=1\). Donc \(p_F(f)=\langle f,1\rangle\cdot1=\int_0^1t^2dt=\dfrac13\) (la moyenne de \(f\)).

Par Pythagore, \(\operatorname{d}(f,F)^2=\|f\|^2-\|p_F(f)\|^2=\int_0^1t^4dt-\dfrac19=\dfrac15-\dfrac19=\dfrac4{45}\).

Donc la distance vaut \(\dfrac2{3\sqrt5}\approx0{,}298\).

12 Orthonormalisation de Gram–Schmidt ★★★

\(\|1\|^2=2\), donc \(e_0=\dfrac1{\sqrt2}\).

\(\langle t,1\rangle=0\) et \(\|t\|^2=\dfrac23\), donc \(e_1=\sqrt{\dfrac32}\,t\).

Pour \(t^2\) : \(\langle t^2,e_0\rangle=\dfrac1{\sqrt2}\cdot\dfrac23\), d’où la composante \(\langle t^2,e_0\rangle e_0=\dfrac13\) ; \(\langle t^2,t\rangle=0\). On pose \(v=t^2-\dfrac13\). Alors \(\|v\|^2=\dfrac25-\dfrac49+\dfrac29=\dfrac8{45}\).

Donc \(e_2=\sqrt{\dfrac{45}8}\Big(t^2-\dfrac13\Big)\). On reconnaît les premiers polynômes de Legendre normalisés.

13 La boule unité de \(\ell^2\) n’est pas compacte ★★★

Pour \(n\ne m\), \(\|e_n-e_m\|_2^2=1+1=2\), donc \(\|e_n-e_m\|_2=\sqrt2\).

Les \(e_n\) appartiennent à la boule unité fermée, mais deux termes distincts sont toujours à distance \(\sqrt2\) : aucune sous-suite n’est de Cauchy, donc aucune ne converge. La boule n’est pas compacte pour la topologie de la norme (contrairement à ce qui se passe en dimension finie).

14 Inclusion des espaces de suites ★★★

Par homogénéité, on suppose \(\|x\|_p=1\). Alors \(|x_n|\le1\) pour tout \(n\), donc \(|x_n|^q\le|x_n|^p\) et \(\sum|x_n|^q\le\sum|x_n|^p=1\), c’est-à-dire \(\|x\|_q\le1=\|x\|_p\).

Pour \(x=(3,4)\) : \(\|x\|_1=7\), \(\|x\|_2=5\), \(\|x\|_4=337^{1/4}\approx4{,}285\). On a bien \(7\ge5\ge4{,}285\).

15 Coefficients de \(t\) dans la base des sinus ★★★

Une intégration par parties donne \(\int_0^1t\sin(n\pi t)\,dt=\Big[-\dfrac{t\cos(n\pi t)}{n\pi}\Big]_0^1+\dfrac1{n\pi}\int_0^1\cos(n\pi t)\,dt=\dfrac{(-1)^{n+1}}{n\pi}\), car la dernière intégrale est nulle.

Donc \(c_n=\langle f,e_n\rangle=\dfrac{\sqrt2\,(-1)^{n+1}}{n\pi}\) et \(c_n^2=\dfrac2{n^2\pi^2}\).

Parseval : \(\sum c_n^2=\|f\|^2=\int_0^1t^2dt=\dfrac13\), soit \(\dfrac2{\pi^2}\sum\dfrac1{n^2}=\dfrac13\) et \(\sum_{n\ge1}\dfrac1{n^2}=\dfrac{\pi^2}6\).

16 Une forme linéaire non continue ★★★

\(\varphi(f_\varepsilon)=\int_\varepsilon^1\dfrac{dt}t=\ln\dfrac1\varepsilon\) et \(\|f_\varepsilon\|_2^2=\int_\varepsilon^1\dfrac{dt}t=\ln\dfrac1\varepsilon\), donc \(\|f_\varepsilon\|_2=\sqrt{\ln(1/\varepsilon)}\).

Le rapport \(\dfrac{|\varphi(f_\varepsilon)|}{\|f_\varepsilon\|_2}=\sqrt{\ln(1/\varepsilon)}\) tend vers \(+\infty\) quand \(\varepsilon\to0\) : aucune constante \(C\) ne vérifie \(|\varphi(f)|\le C\|f\|_2\), donc \(\varphi\) n’est pas continue sur \(L^2\).

C’est cohérent avec Riesz : la fonction \(a(t)=t^{-1/2}\) n’est pas dans \(L^2\) (\(\int_0^1dt/t=+\infty\)), donc \(\varphi\) ne peut pas s’écrire \(\langle\cdot,a\rangle\) avec \(a\in L^2\).

17 Cas d’égalité dans Hölder sur \(\mathbb R^3\) ★★★

\(\sum a_i^{3/2}=1+8+27=36\), donc \(\|a\|_{3/2}=36^{2/3}\approx10{,}90\). Par Hölder, \(\varphi(x)\le\|a\|_{3/2}\|x\|_3\), et c’est la norme de \(\varphi\).

Le cas d’égalité exige \(|x_i|^3\) proportionnel à \(a_i^{3/2}\), donc \(x_i\) proportionnel à \(a_i^{1/2}=(1,2,3)\). On pose \(x=\dfrac{(1,2,3)}{36^{1/3}}\) : alors \(\|x\|_3^3=\dfrac{1+8+27}{36}=1\).

Enfin \(\varphi(x)=\dfrac{1+8+27}{36^{1/3}}=36^{2/3}=\|a\|_{3/2}\). La borne est atteinte.

18 Un hyperplan fermé et son orthogonal ★★★

\(F=\ker\varphi\) avec \(\varphi(f)=\langle f,1\rangle\) continue (Cauchy–Schwarz) : \(F\) est fermé. D’après Riesz, \(F^\perp=\operatorname{Vect}(1)\), l’ensemble des constantes.

La projection sur \(F^\perp\) est la moyenne \(\int_0^1f\) ; donc \(p_F(f)=f-\int_0^1f\). Pour \(f=t^2\) : \(p_F(f)=t^2-\dfrac13\).

La distance est \(\|f-p_F(f)\|=\Big\|\dfrac13\Big\|=\dfrac13\).

19 Reste de la décomposition de 1 ★★★

Les coefficients valent \(c_1^2=\dfrac8{\pi^2}\) et \(c_3^2=\dfrac8{9\pi^2}\). Comme \((e_1,e_3)\) est orthonormée, \(\|S\|^2=c_1^2+c_3^2=\dfrac8{\pi^2}\cdot\dfrac{10}9=\dfrac{80}{9\pi^2}\).

Par Pythagore, \(\|f-S\|^2=1-\dfrac{80}{9\pi^2}\approx1-0{,}9006=0{,}0994\).

Ce nombre est aussi la somme \(\sum_{n\ge5,\ n\text{ impair}}c_n^2\) : deux termes suffisent déjà à capter plus de 90 % de l’énergie de \(f\).

20 Une inégalité de Cauchy–Schwarz entre \(L^4\) et \(L^2\) ★★★

Par Cauchy–Schwarz appliqué à \(f^2\) et \(g^2\) : \(\int|fg|^2\le\Big(\int f^4\Big)^{1/2}\Big(\int g^4\Big)^{1/2}\). En prenant la racine carrée, \(\|fg\|_2\le\|f\|_4\|g\|_4\).

Pour \(f=x\), \(g=1-x\) : \(\int_0^1x^2(1-x)^2dx=\dfrac13-\dfrac12+\dfrac15=\dfrac1{30}\), donc \(\|fg\|_2=\dfrac1{\sqrt{30}}\approx0{,}183\).

D’autre part \(\int_0^1x^4=\int_0^1(1-x)^4=\dfrac15\), donc \(\|f\|_4\|g\|_4=\Big(\dfrac15\Big)^{1/2}\approx0{,}447\). L’inégalité \(0{,}183\le0{,}447\) est vérifiée.

21 \(C([0,1])\) n’est pas complet pour la norme \(L^2\) ★★★

\(f_n-g\) est nulle hors de \([\tfrac12-\tfrac1n,\tfrac12]\), où elle vaut \(n(t-\tfrac12)+1\). Avec \(u=n(t-\tfrac12)+1\in[0,1]\), \(dt=du/n\) et \(\|f_n-g\|_2^2=\dfrac1n\int_0^1u^2du=\dfrac1{3n}\).

Ainsi \(f_n\to g\) dans \(L^2\) ; par inégalité triangulaire, \(\|f_n-f_m\|_2\le\dfrac1{\sqrt{3n}}+\dfrac1{\sqrt{3m}}\to0\) : la suite est de Cauchy.

Si elle convergeait vers une fonction continue \(h\), on aurait \(h=g\) presque partout, ce qui est impossible car \(g\) présente un saut en \(\tfrac12\). Donc \(C([0,1])\) n’est pas complet pour \(\|\cdot\|_2\) : c’est pourquoi on construit \(L^2\) en complétant.