Nombres réels et suites : corrigé du contrôle de maths Licence L1 à télécharger en PDF

1 Borne supérieure d’un ensemble de fractions / 3 pts

a) \(3 - \dfrac{5}{n+1} = \dfrac{3n+3-5}{n+1} = \dfrac{3n-2}{n+1}\). (1 pt)

b) La suite \(\left(3 - \dfrac{5}{n+1}\right)\) est croissante : son minimum est atteint en \(n = 0\) et vaut \(-2\). (1 pt)

Le réel 3 majore \(A\) ; pour \(\varepsilon \gt 0\), \(n + 1 \gt \dfrac{5}{\varepsilon}\) donne un terme supérieur à \(3 - \varepsilon\). Donc \(\sup A = 3\), non atteint car \(\dfrac{5}{n+1} \gt 0\). (1 pt)

2 Partie entière et densité / 3 pts

a) \(-4 \le -3{,}2 \lt -3\) donc \(\lfloor -3{,}2 \rfloor = -4\) ; \(9^2 = 81 \le 90 \lt 100\) donc \(\lfloor \sqrt{90} \rfloor = 9\) ; \(\dfrac{100}{7} \approx 14{,}29\) donc la partie entière vaut \(14\). (1,5 pt)

b) Prenons \(r = 1{,}7321\). Comme \(\sqrt{3} \approx 1{,}73205\), on a \(1{,}7321 \gt \sqrt{3}\) ; et \(\sqrt{3} + 0{,}0002 \approx 1{,}73225 \gt 1{,}7321\). Le décimal \(r = 1{,}7321\) convient. (1,5 pt)

3 Limite avec la définition / 4 pts

a) \(u_n - 2 = \dfrac{2n-1-2n-6}{n+3} = -\dfrac{7}{n+3}\), donc \(|u_n - 2| = \dfrac{7}{n+3}\). (1 pt) Soit \(\varepsilon \gt 0\). Si \(n \ge N\) avec \(N \gt \dfrac{7}{\varepsilon}\), alors \(n + 3 \gt \dfrac{7}{\varepsilon}\) et \(|u_n - 2| \lt \varepsilon\). (2 pts)

b) On veut \(n + 3 \gt 1400\), soit \(n \ge 1398\) ; pour \(n = 1397\), \(\dfrac{7}{1400} = 0{,}005\), pas strictement inférieur. Donc \(N = 1398\). (1 pt)

4 Suite récurrente décroissante / 4 pts

a) Récurrence : \(u_0 = 1 \gt 0\) ; si \(u_n \gt 0\), alors \(u_{n+1} = \dfrac{u_n}{1+u_n} \gt 0\). (1 pt)

b) \(u_{n+1} - u_n = \dfrac{u_n - u_n - u_n^2}{1+u_n} = -\dfrac{u_n^2}{1+u_n} \lt 0\). (1 pt)

c) Décroissante et minorée par 0, la suite converge vers \(\ell \ge 0\). (1 pt) La fonction \(x \mapsto \dfrac{x}{1+x}\) étant continue, \(\ell = \dfrac{\ell}{1+\ell}\), d’où \(\ell^2 = 0\) et \(\ell = 0\). (1 pt)

5 Suites adjacentes / 3 pts

\(a_n = 1 - \dfrac{1}{n+1}\) est strictement croissante et \(b_n = 1 + \dfrac{1}{n+1}\) est strictement décroissante. (1 pt) De plus \(b_n - a_n = \dfrac{2}{n+1} \to 0\) : elles sont adjacentes. (1 pt)

Elles convergent vers la même limite, qui vaut \(1\). Pour \(n = 9\), \(a_9 = \dfrac{9}{10} = 0{,}9\) et \(b_9 = \dfrac{11}{10} = 1{,}1\), donc \(0{,}9 \le 1 \le 1{,}1\). (1 pt)

6 Récurrence homographique / 3 pts

a) \(u_1 = \dfrac{5}{3}\) et \(u_2 = \dfrac{5 + 2}{\frac{5}{3} + 2} = \dfrac{21}{11}\). (0,5 pt)

b) On écrit \(u_{n+1} = 3 - \dfrac{4}{u_n+2}\), fonction croissante de \(u_n\) : si \(1 \le u_n \lt 2\), alors \(\dfrac{5}{3} \le u_{n+1} \lt 3 - 1 = 2\), donc \(1 \le u_{n+1} \lt 2\). (1 pt) Ensuite \(u_{n+1} - u_n = \dfrac{-u_n^2 + u_n + 2}{u_n+2} = \dfrac{(2-u_n)(u_n+1)}{u_n+2} \gt 0\). (1 pt)

c) Croissante et majorée, elle converge vers \(\ell\) tel que \(\ell(\ell+2) = 3\ell+2\), soit \(\ell^2 - \ell - 2 = 0\) : \(\ell = 2\) ou \(\ell = -1\). Comme \(\ell \ge 1\), \(\ell = 2\). (0,5 pt)