1 Borne supérieure d’un ensemble de fractions / 3 pts
Soit \(A = \left\{\dfrac{3n-2}{n+1}\;;\;n \in \mathbb{N}\right\}\). a) Écrire \(\dfrac{3n-2}{n+1}\) sous la forme \(3 - \dfrac{c}{n+1}\). b) Déterminer \(\min A\) et \(\sup A\), en précisant lequel est atteint.
2 Partie entière et densité / 3 pts
a) Calculer \(\lfloor -3{,}2 \rfloor\), \(\lfloor \sqrt{90} \rfloor\) et \(\left\lfloor \dfrac{100}{7} \right\rfloor\). b) Donner un nombre décimal \(r\) vérifiant \(\sqrt{3} \lt r \lt \sqrt{3} + 0{,}0002\) et le justifier (on donne \(\sqrt{3} \approx 1{,}7320508\)).
3 Limite avec la définition / 4 pts
Soit \(u_n = \dfrac{2n-1}{n+3}\). a) Montrer par la définition que \(u_n \to 2\). b) Trouver le plus petit rang \(N\) tel que \(|u_n - 2| \lt 0{,}005\) pour tout \(n \ge N\).
4 Suite récurrente décroissante / 4 pts
Soit \(u_0 = 1\) et \(u_{n+1} = \dfrac{u_n}{1+u_n}\). a) Montrer que \(u_n \gt 0\) pour tout \(n\). b) Montrer que \((u_n)\) est décroissante. c) Justifier la convergence et calculer la limite.
5 Suites adjacentes / 3 pts
Soit \(a_n = \dfrac{n}{n+1}\) et \(b_n = \dfrac{n+2}{n+1}\) pour \(n \in \mathbb{N}\). Montrer qu’elles sont adjacentes, donner leur limite commune et un encadrement de cette limite pour \(n = 9\).
6 Récurrence homographique / 3 pts
Soit \(u_0 = 1\) et \(u_{n+1} = \dfrac{3u_n+2}{u_n+2}\). a) Calculer \(u_1\) et \(u_2\). b) Montrer que \(1 \le u_n \lt 2\) pour tout \(n\) et que \((u_n)\) est croissante. c) Déterminer la limite.
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