Limites et continuité : contrôle de maths Licence L1 à télécharger en PDF

1 Calculs de limites / 4 pts

Calcule, en justifiant, les limites suivantes.

1. \(\lim_{x\to+\infty}\dfrac{5x^2-3x}{2x^2+7}\)
2. \(\lim_{x\to1}\dfrac{x^2-1}{x-1}\)
3. \(\lim_{x\to0}x\sin\left(\dfrac1x\right)\)

2 Définition avec ε et δ / 4 pts

a) Montre avec la définition que \(\lim_{x\to4}(2x-5)=3\).

b) Pour \(f(x)=x^2\), montre que \(\lim_{x\to2}f(x)=4\) en utilisant \(\delta=\min(1,\varepsilon/5)\).

3 Continuité et paramètres / 4 pts

Soit \(f(x)=ax+1\) si \(x<2\) et \(f(x)=x^2-b\) si \(x\ge2\), avec \(a,b\) réels. On sait que \(f(3)=8\).

a) Détermine \(b\). b) Détermine \(a\) pour que \(f\) soit continue en \(2\). c) Conclus pour la continuité sur \(\mathbb{R}\).

4 Théorème des valeurs intermédiaires / 4 pts

Soit \(h(x)=x^5+x-1\). a) Montre que \(h(x)=0\) a une solution \(c\in]0,1[\). b) Montre qu’elle est unique. c) Encadre \(c\) à \(0{,}1\) près (calculatrice autorisée).

5 Continuité uniforme / 4 pts

a) Montre que \(f(x)=x^2\) est lipschitzienne sur \([0,3]\), puis uniformément continue sur \([0,3]\).

b) Avec \(x_n=n\) et \(y_n=n+\dfrac1{2n}\), montre que \(f\) n’est pas uniformément continue sur \(\mathbb{R}\).