Espaces vectoriels : corrigé du contrôle de maths Licence L1 à télécharger en PDF

1 Sous-espaces ou non / 4 pts

1. \((0,0,0)\) vérifie l’équation (1 pt). Si \((x,y,z)\) et \((x’,y’,z’)\) sont dans \(U\), alors \(2(\lambda x + \mu x’) + (\lambda y + \mu y’) - (\lambda z + \mu z’) = \lambda \cdot 0 + \mu \cdot 0 = 0\) : \(U\) est un sev (1 pt).
2. \((1,1) \in V\) mais \(2 \cdot (1,1) = (2,2)\) n’est pas dans \(V\), car \(2 \neq 2^2\). \(V\) n’est pas stable par multiplication : ce n’est pas un sev (2 pts).

2 Base d’un sous-espace de R^4 / 4 pts

Les paramètres libres sont \(y\) et \(t\) : \((x,y,z,t) = (2y, y, y + t, t)\) (1 pt).

Donc \((x,y,z,t) = y(2,1,1,0) + t(0,0,1,1)\), ce qui montre que \(F = \mathrm{Vect}((2,1,1,0),(0,0,1,1))\) (1 pt).

Si \(a(2,1,1,0) + b(0,0,1,1) = 0\), la deuxième coordonnée donne \(a = 0\), la quatrième \(b = 0\) : la famille est libre (1 pt). C’est une base de \(F\) et \(\dim F = 2\) (1 pt).

3 Famille avec paramètre / 4 pts

1. On écrit \(\alpha u + \beta v + \gamma w_m = 0\) : \(\alpha + 2\gamma = 0\), \(\beta + 3\gamma = 0\), \(2\alpha - \beta + m\gamma = 0\) (0,5 pt). Les deux premières donnent \(\alpha = -2\gamma\) et \(\beta = -3\gamma\) ; la troisième devient \((-4 + 3 + m)\gamma = (m - 1)\gamma = 0\) (1 pt). La famille est liée si et seulement si \(m = 1\) (alors \(w_1 = 2u + 3v\)) (0,5 pt).
2. Pour \(m = 0 \neq 1\), la famille est libre d’après a), avec \(3 = \dim \mathbb{R}^3\) vecteurs : c’est une base (0,5 pt). On résout \(a u + b v + c w_0 = (3,2,1)\) : \(a + 2c = 3\), \(b + 3c = 2\), \(2a - b = 1\). Alors \(a = 3 - 2c\), \(b = 2 - 3c\), et \(2(3 - 2c) - (2 - 3c) = 4 - c = 1\), donc \(c = 3\), \(a = -3\), \(b = -7\) (1 pt). Coordonnées : \((-3, -7, 3)\) (0,5 pt).

4 Supplémentaires dans R^3 / 4 pts

1. Les deux vecteurs générateurs de \(F\) sont non colinéaires, donc \(\dim F = 2\), et \(\dim G = 1\) (0,5 pt). Si \((t,t,0) \in F\), alors \((t,t,0) = a(1,0,1) + b(0,1,1) = (a, b, a + b)\) : \(a = b = t\) et \(a + b = 0\), donc \(t = 0\) (1 pt). Ainsi \(F \cap G = \{0\}\) et \(\dim F + \dim G = 3\) : \(\mathbb{R}^3 = F \oplus G\) (0,5 pt).
2. On résout \(a(1,0,1) + b(0,1,1) + c(1,1,0) = (3,1,2)\) : \(a + c = 3\), \(b + c = 1\), \(a + b = 2\) (0,5 pt). La somme donne \(a + b + c = 3\), d’où \(b = 0\), \(a = 2\), \(c = 1\) (1 pt). Donc \((3,1,2) = (2,0,2) + (1,1,0)\), avec \((2,0,2) \in F\) et \((1,1,0) \in G\) (0,5 pt).

5 Dimensions et somme / 4 pts

1. \(F + G\) est un sev de \(\mathbb{R}^6\), donc \(\dim(F + G) \leqslant 6\) (0,5 pt). La formule de Grassmann donne \(\dim(F \cap G) = 4 + 3 - \dim(F + G) \geqslant 7 - 6 = 1\) (1 pt). L’intersection n’est donc pas réduite à \(\{0\}\) (0,5 pt).
2. Supplémentaires : \(\dim F + \dim G’ = 6\) (1 pt), donc \(\dim G’ = 2\) (1 pt).