Espaces vectoriels : cours de maths Licence L1

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Cours de maths en Licence L1 : Espaces vectoriels — Zyro, l’explorateur de Planète Maths

Résoudre un système, étudier une suite récurrente, manipuler des polynômes ou des matrices : toutes ces situations obéissent à la même grammaire, celle des combinaisons linéaires. Ce chapitre construit le vocabulaire commun, sous-espaces, familles libres, bases, dimension, puis apprend à découper un espace en morceaux indépendants grâce aux sommes directes. Dans tout le texte, \(\mathbb{K}\) désigne \(\mathbb{R}\) ou \(\mathbb{C}\), et \(E\) un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel.

Sommaire

1. Espaces vectoriels et sous-espaces

Espace vectoriel

Un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel est un ensemble \(E\) muni d’une addition interne et d’une multiplication externe par les scalaires de \(\mathbb{K}\), vérifiant les règles usuelles : l’addition est commutative, associative, admet un neutre \(0_E\) et chaque vecteur a un opposé ; la multiplication par les scalaires est distributive sur les deux additions, associative, et \(1\cdot u = u\).

Les exemples de référence sont \(\mathbb{K}^n\), l’espace \(\mathbb{K}[X]\) des polynômes, son sous-ensemble \(\mathbb{K}_n[X]\) des polynômes de degré au plus \(n\), l’espace \(\mathcal{M}_{p,q}(\mathbb{K})\) des matrices à \(p\) lignes et \(q\) colonnes, et l’espace des fonctions de \(\mathbb{R}\) dans \(\mathbb{R}\).

Caractérisation des sous-espaces

Une partie \(F\) de \(E\) est un sous-espace vectoriel (sev) de \(E\) si et seulement si \(0_E \in F\) et, pour tous \(u, v \in F\) et tous \(\lambda, \mu \in \mathbb{K}\), le vecteur \(\lambda u + \mu v\) appartient à \(F\).

Un plan passant par l’origine, engendré par deux vecteurs \(u\) et \(v\), est le prototype d’un sous-espace de \(\mathbb{R}^3\) : toute combinaison \(\lambda u + \mu v\) reste dans le plan.

Exemple 1 : deux parties de \(\mathbb{R}^2\)

Soit \(A = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 : x + 3y = 0\}\). Le vecteur nul vérifie l’équation. Si \((x,y)\) et \((x’,y’)\) sont dans \(A\), alors \(\lambda x + \mu x’ + 3(\lambda y + \mu y’) = \lambda(x+3y) + \mu(x’+3y’) = 0\) : \(A\) est un sev de \(\mathbb{R}^2\).

Soit \(B = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 : x + 3y = 1\}\). Le vecteur nul n’y est pas : \(B\) n’est pas un sev.

Pièges classiques

Un sev contient toujours \(0_E\) : c’est le premier test à faire. Et la réunion de deux sev n’est en général pas un sev : les deux axes de \(\mathbb{R}^2\) en fournissent un contre-exemple, car \((1,0) + (0,1) = (1,1)\) n’est sur aucun axe. L’intersection, elle, est toujours un sev.

2. Combinaisons linéaires et familles génératrices

Sous-espace engendré

Pour une famille \((u_1, \dots, u_p)\) de vecteurs de \(E\), on note \(\mathrm{Vect}(u_1, \dots, u_p)\) l’ensemble des combinaisons linéaires \(\lambda_1 u_1 + \dots + \lambda_p u_p\). C’est le plus petit sev de \(E\) contenant tous les \(u_i\). La famille est dite génératrice de \(F\) si \(F = \mathrm{Vect}(u_1, \dots, u_p)\).

Pour montrer qu’un ensemble défini par des équations est un sev, il suffit souvent de le « paramétrer » : on exprime ses éléments comme combinaisons de quelques vecteurs fixes, ce qui l’écrit comme un \(\mathrm{Vect}\).

3. Familles libres et familles liées

Famille libre

La famille \((u_1, \dots, u_p)\) est libre si la seule combinaison linéaire nulle est la combinaison triviale : \(\lambda_1 u_1 + \dots + \lambda_p u_p = 0 \Rightarrow \lambda_1 = \dots = \lambda_p = 0\). Sinon, elle est liée, et l’un des vecteurs est combinaison linéaire des autres.

Méthode : tester la liberté dans \(\mathbb{K}^n\)

Écrire \(\lambda_1 u_1 + \dots + \lambda_p u_p = 0\).
Traduire coordonnée par coordonnée en un système homogène en les \(\lambda_i\).
Résoudre : si l’unique solution est nulle, la famille est libre ; sinon elle est liée.

Exemple 2 : une famille liée

Dans \(\mathbb{R}^3\), soient \(u_1 = (1,2,-1)\), \(u_2 = (2,1,3)\), \(u_3 = (4,5,1)\). On remarque que \(2u_1 + u_2 = (4,5,1) = u_3\). Donc \(2u_1 + u_2 - u_3 = 0\) est une relation non triviale : la famille \((u_1,u_2,u_3)\) est liée.

4. Bases et coordonnées

Base

Une famille est une base de \(E\) si elle est à la fois libre et génératrice de \(E\).

Coordonnées

Si \((e_1, \dots, e_n)\) est une base de \(E\), tout vecteur \(x\) s’écrit de manière unique \(x = x_1 e_1 + \dots + x_n e_n\). Les scalaires \((x_1, \dots, x_n)\) sont les coordonnées de \(x\) dans cette base.

L’existence vient du caractère générateur, l’unicité du caractère libre : si deux écritures coïncident, leur différence est une combinaison nulle, donc triviale. La base canonique de \(\mathbb{K}^n\) est \((e_1, \dots, e_n)\) où \(e_i\) a un \(1\) en position \(i\) et des \(0\) ailleurs.

La figure illustre le changement de point de vue : dans la base \((u, w)\) de \(\mathbb{R}^2\), avec \(u = (2,1)\) et \(w = (1,3)\), le vecteur \(v = (7,4)\) s’écrit \(v = \tfrac{17}{5}u + \tfrac{1}{5}w\). Ses coordonnées dans cette base sont donc \(\left(\tfrac{17}{5}, \tfrac{1}{5}\right)\), différentes de ses coordonnées canoniques \((7,4)\).

5. Dimension

Théorème de la dimension

Si \(E\) possède une famille génératrice finie, alors \(E\) admet des bases et toutes ses bases ont le même nombre d’éléments. Ce nombre est la dimension de \(E\), notée \(\dim E\).

Espace	Dimension	Une base
\(\mathbb{K}^n\)	\(n\)	base canonique
\(\mathbb{K}_n[X]\)	\(n+1\)	\((1, X, \dots, X^n)\)
\(\mathcal{M}_{p,q}(\mathbb{K})\)	\(pq\)	matrices élémentaires \(E_{ij}\)
\(\mathbb{C}\) vu comme \(\mathbb{R}\)-espace	\(2\)	\((1, i)\)

Famille de \(n\) vecteurs en dimension \(n\)

Si \(\dim E = n\), alors toute famille libre a au plus \(n\) vecteurs, toute famille génératrice en a au moins \(n\), et pour une famille de exactement \(n\) vecteurs, les propriétés « libre », « génératrice » et « base » sont équivalentes.

Exemple 3 : base et dimension d’un plan

Soit \(F = \{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3 : 2x - y + 3z = 0\}\). L’équation donne \(y = 2x + 3z\), donc \((x,y,z) = (x, 2x+3z, z) = x(1,2,0) + z(0,3,1)\).

La famille \(((1,2,0), (0,3,1))\) engendre \(F\). Elle est libre : si \(a(1,2,0) + b(0,3,1) = 0\), la première coordonnée donne \(a = 0\) et la troisième \(b = 0\). C’est donc une base de \(F\), et \(\dim F = 2\).

Astuce de Zyro

Chaque équation linéaire indépendante imposée à \(\mathbb{K}^n\) fait perdre exactement une dimension : trois équations indépendantes dans \(\mathbb{R}^5\) laissent un sous-espace de dimension \(2\).

6. Théorème de la base incomplète

Théorème de la base incomplète

Soit \(E\) de dimension finie, \(L\) une famille libre de \(E\) et \(G\) une famille génératrice finie de \(E\). Alors on peut compléter \(L\) par des vecteurs de \(G\) pour obtenir une base de \(E\). En particulier, toute famille libre se complète en une base, et de toute famille génératrice finie on peut extraire une base.

Conséquence importante : si \(F\) est un sev de \(E\) de dimension finie, alors \(F\) est de dimension finie, \(\dim F \leqslant \dim E\), et l’égalité des dimensions entraîne \(F = E\).

Exemple 4 : compléter une famille libre

Dans \(\mathbb{R}^4\), la famille \(v_1 = (1,2,0,1)\), \(v_2 = (0,1,1,0)\) est libre (deux vecteurs non colinéaires). On la complète avec les vecteurs canoniques \(e_1 = (1,0,0,0)\) et \(e_4 = (0,0,0,1)\). Si \(\lambda_1 v_1 + \lambda_2 v_2 + \lambda_3 e_1 + \lambda_4 e_4 = 0\), la troisième coordonnée donne \(\lambda_2 = 0\), la deuxième \(2\lambda_1 + \lambda_2 = 0\) donc \(\lambda_1 = 0\), puis \(\lambda_3 = \lambda_4 = 0\). Quatre vecteurs libres en dimension \(4\) forment une base.

7. Somme et somme directe

Somme de deux sous-espaces

Si \(F\) et \(G\) sont deux sev de \(E\), \(F + G = \{f + g : f \in F,\ g \in G\}\) est un sev de \(E\). La somme est dite directe, notée \(F \oplus G\), si tout vecteur de \(F+G\) s’écrit de façon unique comme \(f + g\).

Critère et formule de Grassmann

La somme \(F + G\) est directe si et seulement si \(F \cap G = \{0\}\). En dimension finie, \(\dim(F+G) = \dim F + \dim G - \dim(F \cap G)\).

La preuve du critère est courte : si \(f + g = f’ + g’\), alors \(f - f’ = g’ - g\) appartient à \(F \cap G\). Si l’intersection est réduite à \(\{0\}\), ce vecteur est nul, donc \(f = f’\) et \(g = g’\) : la décomposition est unique. Réciproquement, un vecteur non nul \(h\) de \(F \cap G\) s’écrit de deux façons, \(h + 0\) et \(0 + h\).

8. Sous-espaces supplémentaires

Supplémentaires

Deux sev \(F\) et \(G\) de \(E\) sont supplémentaires si \(E = F \oplus G\), c’est-à-dire \(F \cap G = \{0\}\) et \(F + G = E\). En dimension finie, cela équivaut à \(F \cap G = \{0\}\) et \(\dim F + \dim G = \dim E\).

Dans \(\mathbb{R}^3\), un plan \(F\) et une droite \(D\) non contenue dans \(F\) sont supplémentaires : ils ne se coupent qu’en \(0\) et \(2 + 1 = 3\). Tout sev d’un espace de dimension finie possède un supplémentaire (on complète une base de \(F\) en une base de \(E\) et on prend pour \(G\) l’espace engendré par les vecteurs ajoutés), mais ce supplémentaire n’est jamais unique dès que \(F \neq \{0\}\) et \(F \neq E\).

Exemple 5 : décomposer un vecteur

Dans \(\mathbb{R}^2\), soient \(F = \mathrm{Vect}((2,1))\) et \(G = \mathrm{Vect}((1,3))\). Ces droites sont distinctes, donc \(F \cap G = \{0\}\), et \(1 + 1 = 2\) : \(\mathbb{R}^2 = F \oplus G\). Pour \(v = (3,5)\), on résout \(a(2,1) + b(1,3) = (3,5)\), soit \(2a + b = 3\) et \(a + 3b = 5\), d’où \(b = \tfrac{7}{5}\) et \(a = \tfrac{4}{5}\). Ainsi \(v = \left(\tfrac{8}{5}, \tfrac{4}{5}\right) + \left(\tfrac{7}{5}, \tfrac{21}{5}\right)\), avec la première composante dans \(F\) et la seconde dans \(G\).

À retenir

Un sev contient \(0\) et est stable par combinaison linéaire ; \(\mathrm{Vect}(u_1, \dots, u_p)\) est le plus petit sev contenant les \(u_i\).
Une famille est libre si la seule combinaison nulle est la triviale ; une base est libre et génératrice, et donne des coordonnées uniques.
La dimension est le nombre commun d’éléments des bases ; en dimension \(n\), une famille de \(n\) vecteurs est libre \(\Leftrightarrow\) génératrice \(\Leftrightarrow\) base.
Base incomplète : toute famille libre se complète en une base ; si \(F \subset E\) et \(\dim F = \dim E\), alors \(F = E\).
Grassmann : \(\dim(F+G) = \dim F + \dim G - \dim(F \cap G)\) ; la somme est directe si et seulement si \(F \cap G = \{0\}\).
Supplémentaires : \(E = F \oplus G\) équivaut à \(F \cap G = \{0\}\) et \(\dim F + \dim G = \dim E\) ; ils existent toujours, mais ne sont pas uniques.