Équations différentielles linéaires : exercices de maths Licence L1 à télécharger en PDF

1 Une équation homogène ★★★

Résoudre sur \(\mathbb{R}\) l’équation \(y'-5y=0\).

2 Une condition initiale ★★★

Déterminer la solution de \(y'+3y=0\) vérifiant \(y(0)=4\), puis calculer \(y(1)\) (valeur exacte).

3 Vrai ou faux ? ★★★

Les affirmations suivantes sont-elles vraies ou fausses ? Justifier.

1. La fonction \(y=e^{2x}\) est solution de \(y'-2y=0\).
2. La somme de deux solutions de \(y'+y=1\) est solution de \(y'+y=1\).
3. La fonction constante \(y=3\) est solution de \(y'+2y=6\).

4 Solution constante ★★★

Chercher une solution constante de \(y'+4y=12\), puis donner toutes les solutions sur \(\mathbb{R}\).

5 Équation caractéristique ★★★

Résoudre \(y''-5y'+6y=0\).

6 Oscillateur ★★★

Résoudre \(y''+16y=0\).

7 Le thé qui refroidit ★★★

La température \(T(t)\) (en °C) d’un thé, \(t\) en minutes, vérifie \(T'+0{,}1\,T=2\) avec \(T(0)=90\).

1. Résoudre l’équation et déterminer \(T(t)\).
2. Calculer \(T(10)\) à \(0{,}01\) près.
3. À quel instant le thé atteint-il \(30\) °C ?

8 Un coefficient non constant ★★★

Résoudre sur \(\mathbb{R}\) l’équation \(y'+2x\,y=x\).

9 Variation de la constante ★★★

Résoudre \(y'-y=e^{2x}\) par la méthode de variation de la constante.

10 Sur un intervalle précis ★★★

Sur \(]0,+\infty[\), résoudre \(x\,y'-2y=x^3\) avec \(y(1)=3\).

11 Problème de Cauchy d’ordre 2 (1) ★★★

Résoudre \(y''-2y'-3y=0\) avec \(y(0)=2\) et \(y'(0)=-2\).

12 Problème de Cauchy d’ordre 2 (2) ★★★

Résoudre \(y''+6y'+9y=0\) avec \(y(0)=1\) et \(y'(0)=1\).

13 Second membre polynomial ★★★

Résoudre \(y''-4y=8x\).

14 Charge d’un condensateur ★★★

Un condensateur est branché à une source de \(12\) V à travers un circuit tel que la tension \(u(t)\) à ses bornes (en volts, \(t\) en secondes) vérifie \(0{,}2\,u'+u=12\), avec \(u(0)=0\).

1. Déterminer \(u(t)\).
2. À quel instant la tension atteint-elle \(9\) V ?

15 Second membre trigonométrique d’ordre 1 ★★★

Résoudre \(y'+2y=\sin x\) avec \(y(0)=1\). On pourra chercher une solution particulière comme partie imaginaire d’une solution de \(y'+2y=e^{ix}\).

16 Une équation qui se factorise ★★★

Résoudre sur \(\mathbb{R}\) l’équation \((1+x^2)y'+2x\,y=3x^2\) avec \(y(0)=2\). (Reconnaître une dérivée de produit.)

17 Résonance d’ordre 2 ★★★

Résoudre \(y''-4y'+4y=e^{2x}\).

18 Résonance avec condition initiale ★★★

Résoudre \(y''+4y=\sin2x\) avec \(y(0)=0\) et \(y'(0)=1\).

19 Solutions complexes d’ordre 2 ★★★

Résoudre \(y''-2y'+5y=0\) avec \(y(0)=2\) et \(y'(0)=5\), puis donner la solution sous forme \(e^{x}\big(2\cos2x+\kappa\sin2x\big)\) en précisant \(\kappa\).

20 Ressort amorti ★★★

Un chariot attaché à un ressort a une abscisse \(x(t)\) (en mètres, \(t\) en secondes) vérifiant \(x''+4x'+13x=0\), avec \(x(0)=0{,}1\) et \(x'(0)=0\).

1. Déterminer \(x(t)\).
2. Quelle est la pseudo-période \(T\) ?
3. De quel facteur l’amplitude est-elle multipliée entre deux instants séparés de \(T\) ?

21 Unicité du problème de Cauchy ★★★

Soit \(y_1,y_2\) deux solutions sur \(I\) de \(y'+a(x)y=b(x)\) avec \(y_1(x_0)=y_2(x_0)\).

1. Montrer que \(z=y_1-y_2\) est solution de l’équation homogène.
2. En déduire que \(y_1=y_2\).