Dérivation et formules de Taylor : corrigé du contrôle de maths Licence L1 à télécharger en PDF

1 Nombre dérivé de la racine / 3 pts

1) \(\dfrac{\sqrt{4+h}-2}{h}=\dfrac{(4+h)-4}{h(\sqrt{4+h}+2)}=\dfrac1{\sqrt{4+h}+2}\) (1,5 pt), qui tend vers \(\dfrac14\) : \(f'(4)=\dfrac14\) (0,5 pt).

2) \(y=2+\dfrac14(x-4)=\dfrac x4+1\) (1 pt).

2 Rolle sur une cubique / 3 pts

\(f\) est polynomiale, donc continue et dérivable (1 pt). \(f(\pm\sqrt3)=\pm(3\sqrt3-3\sqrt3)=0\), donc \(f(-\sqrt3)=f(\sqrt3)\) (1 pt).

\(f'(c)=3c^2-3=0\iff c=\pm1\), deux valeurs de \(]-\sqrt3,\sqrt3[\) (1 pt).

3 Encadrement par les accroissements finis / 3 pts

1) On applique les accroissements finis à \(\ln(1+t)\) sur \([0,x]\) : \(\ln(1+x)=\dfrac{x}{1+c}\), \(0\lt c\lt x\) (1,5 pt). Comme \(1\lt1+c\lt1+x\), on a \(\dfrac x{1+x}\lt\dfrac{x}{1+c}\lt x\) (0,5 pt).

2) Avec \(x=0{,}5\) : \(\dfrac{0{,}5}{1{,}5}=\dfrac13\lt\ln1{,}5\lt0{,}5\) (1 pt).

4 Convexité et inflexion / 3 pts

\(f'(x)=(x+1)e^x\) (0,5 pt) ; \(f''(x)=(x+2)e^x\) (0,5 pt).

Comme \(e^x\gt0\), \(f''\) a le signe de \(x+2\) : concave sur \(]-\infty,-2]\), convexe sur \([-2,+\infty[\) (1 pt).

Point d’inflexion : \(x=-2\), \(f(-2)=-2e^{-2}\approx-0{,}27\) (1 pt).

5 Un développement limité à exploiter / 4 pts

1) \(e^x=1+x+\dfrac{x^2}2+\dfrac{x^3}6+o(x^3)\), \(\cos x=1-\dfrac{x^2}2+o(x^3)\) (1 pt). Produit : \(1+x+\dfrac{x^2}2-\dfrac{x^2}2+\dfrac{x^3}6-\dfrac{x^3}2+o(x^3)=1+x-\dfrac{x^3}3+o(x^3)\) (1,5 pt).

2) Le numérateur vaut \(-\dfrac{x^3}3+o(x^3)\) : la limite est \(-\dfrac13\) (1 pt).

3) La tangente en 0 est \(y=1+x\) et \(f(x)-(1+x)\sim-\dfrac{x^3}3\) change de signe en 0 : la courbe traverse sa tangente, c’est un point d’inflexion (0,5 pt).

6 L’Hôpital et Taylor-Lagrange / 4 pts

1) Forme \(\frac00\) (0,5 pt). Quotient des dérivées : \(\dfrac{\frac1{1+x}-1}{2x}=\dfrac{-x}{2x(1+x)}=\dfrac{-1}{2(1+x)}\) (1 pt), qui tend vers \(-\dfrac12\) : la limite est \(-\dfrac12\) (0,5 pt).

2) Taylor avec reste à l’ordre 2 en 0 : \(\sin x=x+R_2\), avec \(|\sin^{(3)}|\le1\), donc \(|R_2|\le\dfrac{|x|^3}{3!}\) (1 pt). Pour \(x=0{,}3\) : \(|\sin0{,}3-0{,}3|\le\dfrac{0{,}027}6=0{,}0045\) (1 pt).