20 exercices classés par difficulté (★ facile, ★★ moyen, ★★★ difficile). Cherche d’abord sans regarder le corrigé !
1 PGCD de deux entiers ★★★
Calcule \(126 \wedge 84\) avec l’algorithme d’Euclide, puis donne le PPCM de 126 et 84.
2 Diviseurs de 90 ★★★
Donne la liste de tous les diviseurs positifs de 90. Combien y en a-t-il ?
3 Décomposition en facteurs premiers ★★★
Décompose 756 en produit de facteurs premiers et déduis son nombre de diviseurs positifs.
4 Restes par congruences ★★★
Détermine le reste de 2024 dans la division par 9, puis par 7.
5 Équation dans Z/7Z ★★★
Résous dans \(\mathbb{Z}/7\mathbb{Z}\) l’équation \(x + 5 = 2\), puis l’équation \(3x = 4\).
6 Premiers entre eux ★★★
Vérifie que \(3 \times 17 - 5 \times 10 = 1\). Que peut-on en déduire sur 17 et 10 ? Donne l’inverse de 10 modulo 17.
7 Sous-groupe ou non ? ★★★
L’ensemble des entiers impairs est-il un sous-groupe de \((\mathbb{Z}, +)\) ? Et l’ensemble des multiples de 6 ?
8 PGCD et PPCM ★★★
Avec l’algorithme d’Euclide, calcule \(924 \wedge 396\), puis le PPCM de 924 et 396.
9 Relation de Bézout ★★★
Détermine \(u, v\) entiers tels que \(38u + 15v = 1\).
10 Équations diophantiennes ★★★
1) Résous \(15x + 21y = 9\) dans \(\mathbb{Z}^2\). 2) L’équation \(15x + 21y = 10\) a-t-elle des solutions ?
11 Puissance modulo 7 ★★★
Calcule le reste de \(3^{100}\) dans la division par 7.
12 Congruence linéaire ★★★
Résous \(7x \equiv 4 \pmod{15}\).
13 Un groupe de quatre éléments ★★★
On considère \(G = \{1, 3, 5, 7\}\) muni de la multiplication modulo 8. Montre que c’est un groupe, donne l’inverse de chaque élément et décide s’il est cyclique.
14 Sous-groupe engendré dans Z/20Z ★★★
Détermine le sous-groupe de \((\mathbb{Z}/20\mathbb{Z}, +)\) engendré par 8, et son ordre. Vérifie le théorème de Lagrange.
15 Un sous-groupe de Q* ★★★
Soit \(H = \{2^a 3^b : a, b \in \mathbb{Z}\}\). Montre que \(H\) est un sous-groupe de \((\mathbb{Q}^{*}, \times)\).
16 Noyau et image ★★★
Soit \(f : \mathbb{Z}/15\mathbb{Z} \to \mathbb{Z}/15\mathbb{Z}\), \(f(x) = 5x\). Montre que \(f\) est bien définie et est un morphisme, puis détermine \(\ker f\) et \(\operatorname{Im} f\). Que vaut le produit de leurs ordres ?
17 Une propriété des PGCD ★★★
Soit \(a, b\) premiers entre eux. Démontre que \((a + b) \wedge (ab) = 1\).
18 Fermat et grande puissance ★★★
Calcule le reste de \(2^{2026}\) dans la division par 13.
19 Inversibles et diviseurs de zéro ★★★
Dans l’anneau \(\mathbb{Z}/12\mathbb{Z}\), détermine les éléments inversibles, donne un diviseur de zéro, puis résous \(x^2 = 1\). Compare avec \(\mathbb{Z}/13\mathbb{Z}\).
20 Une équation du second degré dans F7 ★★★
Dans le corps \(\mathbb{Z}/7\mathbb{Z}\), l’équation \(x^2 + x + 3 = 0\) a-t-elle des solutions ? Justifie en calculant ses valeurs.
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