Applications et dénombrement : contrôle de maths Licence L1 à télécharger en PDF

1 Étude d’une application / 4 pts

Soit \(g : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\), \(g(x) = x^2 - 6x + 5\).

1. \(g\) est-elle injective ? Justifiez.
2. \(g\) est-elle surjective ? Justifiez.
3. Montrez que \(g\) restreinte à \([3\,;\,+\infty[\) au départ et à \([-4\,;\,+\infty[\) à l’arrivée est bijective et donnez sa réciproque.

2 Diagramme / 3 pts

Soit \(A = \{1, 2, 3\}\), \(B = \{p, q, r, s\}\) et \(h : A \to B\) définie par \(h(1) = q\), \(h(2) = s\), \(h(3) = p\).

1. \(h\) est-elle injective ?
2. \(h\) est-elle surjective ?
3. Combien d’injections de \(A\) dans \(B\) existe-t-il ?

3 Images directe et réciproque / 3 pts

Soit \(f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\), \(f(x) = |x - 1|\).

1. Déterminez \(f([-2\,;\,3])\).
2. Déterminez \(f^{-1}([1\,;\,2])\).

4 Composition / 4 pts

Soient \(f(x) = 2x - 3\) et \(g(x) = x^2 + 1\), deux applications de \(\mathbb{R}\) dans \(\mathbb{R}\).

1. Calculez \(g \circ f\) et \(f \circ g\).
2. Montrez que \(f\) est bijective et donnez \(f^{-1}\).
3. \(g \circ f\) est-elle injective ? Justifiez.

5 Dénombrement / 3 pts

Une classe compte \(30\) élèves.

1. De combien de façons forme-t-on une équipe de \(5\) élèves ?
2. De combien de façons choisit-on un président, un secrétaire et un trésorier (trois élèves différents) ?
3. Combien d’équipes de \(5\) élèves contiennent Léa ?

6 Binôme et tiroirs / 3 pts

1. Développez \((x + 3)^4\).
2. On choisit \(7\) entiers relatifs quelconques. Montrez que deux d’entre eux ont le même reste dans la division euclidienne par \(6\).