Applications linéaires et matrices : exercices de maths Licence L1 à télécharger en PDF

1 Linéaire ou non ? ★★★

Dites si chacune des applications de \(\mathbb{R}^2\) dans \(\mathbb{R}^2\) suivantes est linéaire, en justifiant.

1. \(f_1(x,y) = (2x - y,\ x + 3y)\)
2. \(f_2(x,y) = (x + 1,\ y)\)
3. \(f_3(x,y) = (xy,\ x)\)

2 Lire une matrice ★★★

Soit \(g : \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^2\) définie par \(g(x,y,z) = (x - y + 2z,\ 3y - z)\).

1. Écrire la matrice de \(g\) dans les bases canoniques.
2. Calculer \(g(2,1,-1)\).

3 Deux produits ★★★

Soit \(A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}\) et \(B = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 2 & -2 \end{pmatrix}\). Calculer \(AB\) et \(BA\). Sont-elles égales ?

4 Un noyau et une image ★★★

Soit \(h(x,y) = (x - 2y,\ -3x + 6y)\). Déterminer \(\operatorname{Ker} h\), \(\operatorname{Im} h\) et le rang de \(h\).

5 Inverse d’une matrice 2 × 2 ★★★

Soit \(M = \begin{pmatrix} 3 & 5 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}\).

1. Montrer que \(M\) est inversible et calculer \(M^{-1}\).
2. Résoudre \(MX = \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \end{pmatrix}\).

6 Carnets et stylos ★★★

Dans une papeterie, trois carnets et deux stylos coûtent \(12\) euros ; deux carnets et un stylo coûtent \(7\) euros. Quel est le prix d’un carnet ? d’un stylo ?

7 Vrai ou faux ? ★★★

Dites si chaque affirmation est vraie ou fausse, en justifiant brièvement.

1. Toute application linéaire envoie le vecteur nul sur le vecteur nul.
2. Pour deux matrices carrées \(A\) et \(B\), on a toujours \(AB = BA\).
3. Une matrice de taille \(3 \times 5\) a un rang inférieur ou égal à \(3\).
4. Une matrice carrée dont le noyau n’est pas réduit à \(0\) est inversible.

8 Rotation puis symétrie ★★★

Dans \(\mathbb{R}^2\), soit \(r\) la rotation d’angle \(90°\) : \(r(x,y) = (-y, x)\), et \(s\) la symétrie par rapport à l’axe des abscisses : \(s(x,y) = (x, -y)\).

1. Écrire les matrices \(R\) et \(S\) de \(r\) et \(s\).
2. Calculer \(SR\) et \(RS\). Que constate-t-on ?
3. Calculer l’image de \((1,2)\) par \(s \circ r\) et par \(r \circ s\).

9 Rang et noyau en dimension 4 ★★★

Soit \(f : \mathbb{R}^4 \to \mathbb{R}^3\) définie par \(f(x,y,z,t) = (x+y,\ y+z,\ z+t)\).

1. Déterminer le noyau de \(f\).
2. En déduire le rang de \(f\). L’application est-elle surjective ?

10 Matrice de rang 2 ★★★

Soit \(C = \begin{pmatrix} 1&2&3 \\ 4&5&6 \\ 7&8&9 \end{pmatrix}\) et \(f\) l’endomorphisme de \(\mathbb{R}^3\) associé.

1. Montrer que \((1,-2,1)\) appartient au noyau.
2. Exprimer la troisième colonne à l’aide des deux premières, puis donner le rang et une base de l’image.
3. Donner une équation de l’image.

11 Inverse d’une matrice triangulaire ★★★

Soit \(T = \begin{pmatrix} 1&2&0 \\ 0&1&3 \\ 0&0&1 \end{pmatrix}\).

1. Calculer \(T^{-1}\) par la méthode du pivot.
2. Résoudre \(TX = (1,2,3)\).

12 Changement de base et puissance ★★★

Soit \(A = \begin{pmatrix} 4 & -2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}\), \(u_1 = (1,1)\) et \(u_2 = (2,1)\).

1. Calculer \(Au_1\) et \(Au_2\) ; en déduire la matrice \(D\) de l’endomorphisme dans la base \((u_1, u_2)\).
2. Donner \(P\) et \(P^{-1}\), puis calculer \(A^3 = PD^3P^{-1}\).

13 Échelonner une matrice ★★★

Soit \(M = \begin{pmatrix} 1&2&-1 \\ 2&4&1 \\ 3&6&0 \end{pmatrix}\). Déterminer le rang de \(M\) par opérations élémentaires, puis une base de son noyau.

14 Un système 3 × 3 ★★★

Résoudre par la méthode du pivot : \(2x + y + z = 6\), \(x - y + 2z = 9\), \(3x + 2y - z = 1\).

15 Noyau, image et injectivité ★★★

Soit \(f : E \to F\) linéaire.

1. Montrer que \(\operatorname{Ker} f\) est un sous-espace vectoriel de \(E\).
2. Montrer que \(\operatorname{Im} f\) est un sous-espace vectoriel de \(F\).
3. Montrer que \(f\) est injective si et seulement si \(\operatorname{Ker} f = \{0_E\}\).

16 Endomorphisme de carré nul ★★★

Soit \(E\) un espace de dimension \(n\) et \(f\) un endomorphisme de \(E\) tel que \(f \circ f = 0\).

1. Montrer que \(\operatorname{Im} f \subset \operatorname{Ker} f\).
2. En déduire que \(2\operatorname{rg} f \leq n\). Que vaut au maximum le rang si \(n = 7\) ?
3. Donner un exemple non nul dans \(\mathbb{R}^2\).

17 Inverse de I − N ★★★

Soit \(N = \begin{pmatrix} 0&1&2 \\ 0&0&3 \\ 0&0&0 \end{pmatrix}\).

1. Calculer \(N^2\) et \(N^3\).
2. Montrer que \((I - N)(I + N + N^2) = I\) et en déduire \((I - N)^{-1}\).

18 Système à paramètre ★★★

Discuter, selon le réel \(m\), les solutions de \(x + y + z = 1\), \(x + my + z = 1\), \(x + y + mz = m\).

19 Projection oblique ★★★

Dans \(\mathbb{R}^2\), soit \(p\) la projection sur la droite \(\operatorname{Vect}(u)\), avec \(u = (1,2)\), parallèlement à la droite \(\operatorname{Vect}(v)\), avec \(v = (1,1)\).

1. Décomposer \(e_1 = (1,0)\) et \(e_2 = (0,1)\) sur \((u, v)\).
2. En déduire la matrice \(A\) de \(p\) dans la base canonique et vérifier \(A^2 = A\).
3. Donner la matrice de \(p\) dans la base \((u, v)\).

20 Dérivation des polynômes ★★★

Soit \(\mathbb{R}_3[X]\) l’espace des polynômes de degré au plus \(3\), de base \((1, X, X^2, X^3)\), et \(D : P \mapsto P^{\prime}\).

1. Écrire la matrice de \(D\) dans cette base.
2. Déterminer \(\operatorname{Ker} D\) et \(\operatorname{rg} D\).
3. Calculer \(D(2X^3 - X + 4)\) à l’aide de la matrice.

21 Migration entre deux villes ★★★

Deux villes \(A\) et \(B\) comptent ensemble \(6\,000\) habitants. Chaque année, \(10\,\%\) des habitants de \(A\) partent vers \(B\) et \(20\,\%\) de ceux de \(B\) partent vers \(A\). L’état de l’année est \(X = (a, b)\). On a \(X_{n+1} = MX_n\) avec \(M = \begin{pmatrix} 0{,}9 & 0{,}2 \\ 0{,}1 & 0{,}8 \end{pmatrix}\).

1. Vérifier que \(u_1 = (2,1)\) et \(u_2 = (1,-1)\) sont des vecteurs propres et donner les valeurs propres associées.
2. Quelle répartition est stable ?
3. Pour \(X_0 = (3000, 3000)\), écrire \(X_n\) en fonction de \(n\) et calculer \(X_1\).