Tu connais les nombres entiers : 1, 2, 3, 10, 100… Mais comment écrire une longueur de 2 m et 35 cm, ou un prix de 3 € et 50 centimes ? Il faut des nombres plus fins : les nombres décimaux. Dans ce chapitre, tu apprends à les lire, les écrire, les comparer, les placer sur une droite et les additionner ou les soustraire.
1. Les dixièmes et les centièmes
Partageons une unité (un carré, un mètre, un gâteau…) en 10 parts égales : chaque part est un dixième. Partageons-la en 100 parts égales : chaque part est un centième.
Un dixième s’écrit \( \dfrac{1}{10} \) et un centième s’écrit \( \dfrac{1}{100} \). Ces fractions s’appellent des fractions décimales (leur dénominateur est 10, 100…).
Une unité contient 10 dixièmes et 100 centièmes. Un dixième contient 10 centièmes.
Sur la figure, la bande colorée en 3 parts sur 10 représente \( \dfrac{3}{10} \), et le grand carré coloré en 27 cases sur 100 représente \( \dfrac{27}{100} \).
2. L’écriture à virgule
Pour écrire des parties d’unité sans fraction, on utilise la virgule. Elle sépare les unités des dixièmes. À droite de la virgule, le premier chiffre est celui des dixièmes, le deuxième celui des centièmes.
| Centaines | Dizaines | Unités | Dixièmes | Centièmes |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 4 | 2 | 3 | 5 |
| 7 | 0 | 8 | ||
| 0 | 9 |
Le nombre de la première ligne s’écrit \( 142{,}35 \) : 1 centaine, 4 dizaines, 2 unités, 3 dixièmes et 5 centièmes. Le deuxième s’écrit \( 7{,}08 \) et le troisième \( 0{,}9 \).
\( \dfrac{3}{10} = 0{,}3 \) et \( \dfrac{27}{100} = 0{,}27 \). Un nombre à virgule est un nombre décimal. Les nombres entiers sont aussi des nombres décimaux : \( 5 = 5{,}0 \).
Écrire « 6 unités, 4 dixièmes et 9 centièmes » : on place 6 avant la virgule, puis 4 et 9 après. Réponse : \( 6{,}49 \), soit \( 6 + \dfrac{4}{10} + \dfrac{9}{100} \).
3. Partie entière et partie décimale
Dans un nombre décimal, la partie entière est ce qui est avant la virgule et la partie décimale est ce qui est après la virgule (avec la valeur de ces chiffres, en dixièmes et centièmes).
Pour \( 38{,}72 \) : la partie entière est 38 et la partie décimale est \( 0{,}72 \), soit 72 centièmes. On peut aussi décomposer : \( 38{,}72 = 38 + \dfrac{7}{10} + \dfrac{2}{100} \).
Ne lis pas \( 3{,}45 \) « trois virgule quarante-cinq » comme si 45 était un entier : c’est 4 dixièmes et 5 centièmes. Et le chiffre des centièmes de \( 7{,}08 \) est 8, celui des dixièmes est 0.
4. Les zéros inutiles
Ajouter un zéro à la fin de la partie décimale ne change pas la valeur du nombre : \( 4{,}5 = 4{,}50 \) car 5 dixièmes valent 50 centièmes. En revanche, \( 4{,}5 \neq 4{,}05 \) : le zéro placé juste après la virgule change tout.
Sur ma planète, on dit « un zéro au bout ne compte pas, un zéro au milieu compte ». Teste-le avec 2,30 et 2,03 !
5. Comparer et ranger des décimaux
- Compare d’abord les parties entières : le plus grand entier gagne.
- Si elles sont égales, ajoute des zéros pour avoir le même nombre de chiffres après la virgule.
- Compare chiffre par chiffre : dixièmes, puis centièmes.
Comparer \( 5{,}7 \) et \( 5{,}68 \). Les parties entières sont égales. On écrit \( 5{,}7 = 5{,}70 \). Les dixièmes : 7 contre 6, donc \( 5{,}70 > 5{,}68 \).
Pour ranger, on place les nombres dans l’ordre croissant (du plus petit au plus grand) ou décroissant (du plus grand au plus petit), avec les signes \( < \) et \( > \).
Il ne faut pas croire que \( 5{,}68 \) est plus grand que \( 5{,}7 \) parce que 68 est plus grand que 7. On compare les dixièmes avant les centièmes.
6. Placer des décimaux sur une droite graduée
Pour placer des dixièmes, on partage chaque unité de la droite en 10 intervalles égaux. Entre 2 et 3, les graduations successives sont \( 2{,}1 ; 2{,}2 ; 2{,}3 \dots \)
Le point A est au 3ème trait après 2 : c’est \( 2{,}3 \). Le point B est au 8ème trait : c’est \( 2{,}8 \). Pour un centième, on partage encore un intervalle en 10 : \( 2{,}35 \) est au milieu entre \( 2{,}3 \) et \( 2{,}4 \).
Encadrer \( 6{,}83 \) : entre deux entiers, \( 6 < 6{,}83 < 7 \) ; entre deux dixièmes consécutifs, \( 6{,}8 < 6{,}83 < 6{,}9 \).
7. Additionner des décimaux
- Écris les nombres l’un sous l’autre en alignant les virgules (unités sous unités, dixièmes sous dixièmes…).
- Complète avec des zéros si besoin.
- Additionne comme des entiers, de la droite vers la gauche, avec les retenues.
- Place la virgule dans le résultat, alignée avec les autres.
\( 14{,}6 + 3{,}25 \) : on écrit \( 14{,}60 + 3{,}25 \). Centièmes : \( 0 + 5 = 5 \). Dixièmes : \( 6 + 2 = 8 \). Unités : \( 4 + 3 = 7 \). Dizaine : 1. Résultat : \( 17{,}85 \).
8. Soustraire des décimaux
On aligne aussi les virgules et on complète par des zéros. On soustrait de la droite vers la gauche en utilisant les retenues si nécessaire.
\( 9 - 2{,}47 \) : on écrit \( 9{,}00 - 2{,}47 \). On trouve \( 6{,}53 \). Vérification : \( 6{,}53 + 2{,}47 = 9{,}00 \).
Ne pose jamais \( 9 - 2{,}47 \) en mettant le 9 sous le 2 sans écrire de virgule : le 9 est un entier, sa virgule est à sa droite, il faut ajouter les zéros.
À retenir
- 1 unité = 10 dixièmes = 100 centièmes ; \( \dfrac{3}{10} = 0{,}3 \) et \( \dfrac{27}{100} = 0{,}27 \).
- La virgule sépare la partie entière de la partie décimale.
- Un zéro à la fin de la partie décimale ne change pas la valeur : \( 4{,}5 = 4{,}50 \).
- Pour comparer : parties entières, puis dixièmes, puis centièmes.
- Pour additionner ou soustraire : on aligne les virgules et on complète avec des zéros.
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