Une grande roue qui tourne, une carte à jouer que l’on peut lire dans les deux sens, une hélice : dans tous ces objets, une moitié « répond » à l’autre après un demi-tour. C’est l’idée de la symétrie centrale. Dans ce chapitre, tu vas apprendre à trouver le symétrique d’un point, à construire celui d’une figure, à repérer un centre de symétrie et à reconnaître cette transformation dans les frises et les pavages.
1. Le symétrique d’un point
Soit \(O\) et \(A\) deux points. Le symétrique de \(A\) par rapport à \(O\) est le point \(A'\) tel que \(O\) soit le milieu du segment \([AA']\). Le point \(O\) s’appelle le centre de symétrie. Si \(A = O\), alors \(A' = O\).
Sur cette figure, les trois points \(A\), \(O\) et \(A'\) sont alignés, et les deux petits segments \([AO]\) et \([OA']\) portent le même codage : ils ont la même longueur, \(OA = OA'\). Passer de \(A\) à \(A'\) revient à faire un demi-tour autour de \(O\).
Le point \(O\) est le milieu de \([MM']\) et \(OM = 4{,}6\) cm. Quelle est la longueur \(MM'\) ?
Comme \(O\) est le milieu de \([MM']\), on a \(OM' = OM = 4{,}6\) cm. Donc \(MM' = 2 \times 4{,}6 = 9{,}2\) cm.
Le centre \(O\) est toujours entre \(A\) et \(A'\). Si tu places \(A'\) du même côté que \(A\), ce n’est pas le symétrique : c’est une erreur très fréquente.
2. Construire le symétrique d’un point
- Trace la droite \((AO)\) avec la règle, en la prolongeant au-delà de \(O\).
- Plante la pointe du compas en \(O\) et règle l’écartement sur \(OA\).
- Trace un arc de cercle qui coupe la droite \((AO)\) de l’autre côté de \(O\) : l’intersection est le point \(A'\).
- Vérifie à la règle graduée que \(OA' = OA\).
Sur un quadrillage, c’est encore plus simple : on compte les carreaux. Pour aller de \(A\) à \(O\), on fait par exemple « 3 carreaux vers la droite et 1 vers le haut » ; on refait exactement le même déplacement à partir de \(O\) pour arriver en \(A'\).
Sur un quadrillage, \(O\) est le point \((6 \,;\, 4)\) et \(A\) le point \((3 \,;\, 3)\). Où est \(A'\) ?
De \(A\) à \(O\) : \(3\) carreaux vers la droite et \(1\) vers le haut. On recommence depuis \(O\) : \(A'\) est en \((6+3 \,;\, 4+1) = (9 \,;\, 5)\).
3. Le symétrique d’une figure
Pour obtenir le symétrique d’une figure, on construit le symétrique de chacun de ses points importants (les sommets d’un polygone, le centre d’un cercle), puis on les relie dans le même ordre.
Le triangle \(ABC\) est devenu le triangle \(A'B'C'\) : il a fait un demi-tour autour de \(O\). Remarque : l’image est « à l’envers » mais pas « retournée comme dans un miroir ».
- Le symétrique d’un segment est un segment de même longueur.
- Le symétrique d’une droite est une droite parallèle à celle-ci.
- Le symétrique d’un cercle est un cercle de même rayon, dont le centre est le symétrique du centre du premier.
Un cercle de centre \(I\) et de rayon \(3\) cm est symétrique, par rapport à \(O\), d’un cercle de centre \(I'\). Que peut-on dire de \(I'\) et du rayon ?
Le rayon reste \(3\) cm. Le centre \(I'\) est le symétrique de \(I\) par rapport à \(O\), donc \(O\) est le milieu de \([II']\).
4. Ce que la symétrie centrale conserve
La symétrie centrale conserve : les longueurs, les mesures des angles, les aires et les périmètres, l’alignement des points et le parallélisme des droites.
En clair : la figure et son image se superposent exactement après un demi-tour. Elles sont « superposables » : ni plus grandes, ni plus petites, ni déformées.
Dans le triangle \(ABC\), \(AB = 6\) cm et \(\widehat{ABC} = 58^\circ\). Quelles sont les mesures de \(A'B'\) et de \(\widehat{A'B'C'}\) ?
La symétrie centrale conserve les longueurs et les angles : \(A'B' = AB = 6\) cm et \(\widehat{A'B'C'} = \widehat{ABC} = 58^\circ\).
5. Centre de symétrie d’une figure
Un point \(O\) est un centre de symétrie d’une figure lorsque le symétrique de cette figure par rapport à \(O\) est la figure elle-même.
Le parallélogramme \(ABCD\) a pour centre de symétrie le point \(O\) où se coupent ses diagonales : le symétrique de \(A\) est \(C\), celui de \(B\) est \(D\). On dit que les diagonales d’un parallélogramme se coupent en leur milieu.
Voici quelques figures et leurs centres de symétrie :
- le parallélogramme, le rectangle, le losange et le carré : le point d’intersection des diagonales ;
- le cercle : son centre ;
- la droite : n’importe lequel de ses points ;
- les lettres H, N, S, X, Z, O (en écriture bâton) ;
- le triangle et le trapèze quelconque : aucun.
\(ABCD\) est un parallélogramme de centre \(O\), avec \(AO = 4\) cm et \(BO = 2{,}5\) cm. Calcule \(AC\) et \(BD\).
\(O\) est le milieu de \([AC]\) et de \([BD]\). Donc \(AC = 2 \times 4 = 8\) cm et \(BD = 2 \times 2{,}5 = 5\) cm.
Pour tester un centre de symétrie, tourne ta feuille d’un demi-tour autour du point : si la figure retombe exactement sur elle-même, tu as trouvé un centre de symétrie !
6. Frises et pavages
Une frise est une bande décorée par un motif qui se répète ; un pavage recouvre une surface sans trou ni chevauchement. La symétrie centrale en est un outil précieux : en faisant faire un demi-tour à un triangle autour du milieu d’un de ses côtés, on obtient un triangle qui s’y colle parfaitement.
Les deux triangles voisins forment alors un parallélogramme. Comme un parallélogramme est formé de deux triangles identiques, son aire est le double de celle du triangle. Et comme on peut recommencer indéfiniment, tout triangle permet de paver le plan !
Un triangle a pour aire \(10\) cm². On l’associe à son symétrique par rapport au milieu d’un côté. Quelle est l’aire du parallélogramme obtenu ?
La symétrie conserve les aires : les deux triangles ont chacun \(10\) cm², donc le parallélogramme a pour aire \(2 \times 10 = 20\) cm².
7. Ne pas confondre avec la symétrie axiale
| Symétrie axiale | Symétrie centrale | |
|---|---|---|
| Élément fixe | une droite (l’axe) | un point (le centre) |
| Le point \(A'\) est tel que… | l’axe est la médiatrice de \([AA']\) | \(O\) est le milieu de \([AA']\) |
| Idée | un pliage, un miroir | un demi-tour |
| Longueurs et angles | conservés | conservés |
Dans les deux cas, les longueurs et les angles sont conservés ; ce qui change, c’est la position de l’image. Certaines figures, comme le rectangle, ont à la fois des axes de symétrie et un centre de symétrie, mais ce n’est pas le cas de toutes : un triangle isocèle a un axe, mais pas de centre.
À retenir
- \(A'\) est le symétrique de \(A\) par rapport à \(O\) quand \(O\) est le milieu de \([AA']\).
- Pour construire \(A'\) : tracer \((AO)\), puis reporter la longueur \(OA\) de l’autre côté de \(O\) avec le compas.
- Le symétrique d’une droite est une droite parallèle ; celui d’un cercle est un cercle de même rayon.
- La symétrie centrale conserve les longueurs, les angles, les aires, l’alignement et le parallélisme.
- Un centre de symétrie d’une figure est un point autour duquel un demi-tour laisse la figure inchangée.
- Le parallélogramme (et donc rectangle, losange, carré) a pour centre de symétrie l’intersection de ses diagonales.
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