Une canette, un cornet de glace, un ballon, le toit d’une tour : autour de toi, les solides sont partout, et on a souvent besoin de savoir combien ils contiennent ou combien de peinture il faut pour les recouvrir. Dans ce chapitre, tu vas calculer des volumes (cylindre, pyramide, cône, boule), l’aire d’une sphère, étudier ce qui se passe quand on coupe un solide, comprendre comment les volumes changent quand on agrandit ou réduit, convertir sans te tromper, et enfin te repérer sur un globe.
1. Rappels : volume d’un solide
Le volume d’un solide mesure la place qu’il occupe dans l’espace. On l’exprime en unités « cube » : cm³, dm³, m³… Un cube de 1 cm d’arête a un volume de 1 cm³.
Tu connais déjà deux formules : pour un pavé droit de longueur \(L\), de largeur \(\ell\) et de hauteur \(h\), \(V = L \times \ell \times h\) ; pour un prisme droit dont la base a pour aire \(B\), \(V = B \times h\). Dans tout ce chapitre, la lettre \(h\) désigne la hauteur, c’est-à-dire la distance mesurée perpendiculairement à la base, et \(B\) l’aire de la base.
| Solide | Volume | Remarque |
|---|---|---|
| Pavé droit | \(L \times \ell \times h\) | base rectangulaire |
| Cylindre | \(\pi r^2 \times h\) | base : un disque de rayon \(r\) |
| Pyramide | \(\dfrac{1}{3} \times B \times h\) | un tiers du prisme de même base et même hauteur |
| Cône | \(\dfrac{1}{3} \times \pi r^2 \times h\) | un tiers du cylindre de même base et même hauteur |
| Boule | \(\dfrac{4}{3}\pi r^3\) | dépend seulement du rayon \(r\) |
2. Volume du cylindre
Un cylindre de révolution de rayon \(r\) et de hauteur \(h\) a pour volume \[ V = \pi r^2 \times h = B \times h \] où \(B = \pi r^2\) est l’aire du disque de base.
Un cylindre se comporte comme un prisme : on empile des disques identiques les uns sur les autres. Le volume est donc l’aire d’un disque multipliée par le nombre de « couches », c’est-à-dire la hauteur.
Un pot de crème cylindrique a un rayon de \(3\) cm et une hauteur de \(12\) cm. Calcule son volume.
\(V = \pi \times 3^2 \times 12 = 108\pi\) cm³. La valeur exacte est \(108\pi\) cm³ ; avec la calculatrice, \(V \approx 339{,}3\) cm³ (arrondi au dixième).
Les formules utilisent le rayon. Si l’énoncé donne le diamètre, divise-le par \(2\) avant de calculer. Un diamètre de \(10\) cm donne \(r = 5\) cm, donc \(r^2 = 25\) et non \(100\).
3. Volume de la pyramide et du cône
Pour une pyramide, ou un cône, de hauteur \(h\) dont la base a pour aire \(B\) : \[ V = \dfrac{1}{3} \times B \times h \] Pour un cône de rayon \(r\), la base est un disque et \(B = \pi r^2\), donc \(V = \dfrac{1}{3}\pi r^2 h\).
Sur ma planète, on remplit une pyramide d’eau et on la verse dans un prisme de même base et de même hauteur : il faut exactement trois pyramides pour le remplir. Voilà pourquoi on prend le tiers !
Une pyramide a pour base un rectangle de \(5\) cm sur \(3\) cm et pour hauteur \(6\) cm.
L’aire de la base est \(B = 5 \times 3 = 15\) cm². Donc \(V = \dfrac{1}{3} \times 15 \times 6 = 30\) cm³.
Un cône a un rayon de base de \(4\) cm et une hauteur de \(9\) cm.
\(V = \dfrac{1}{3} \times \pi \times 4^2 \times 9 = \dfrac{1}{3} \times 144\pi = 48\pi\) cm³, soit environ \(150{,}8\) cm³.
La hauteur est la distance du sommet à la base, mesurée à angle droit. Ce n’est pas la longueur d’une arête latérale (pyramide) ni celle d’une génératrice (cône), qui sont toujours plus longues.
4. Volume de la boule et aire de la sphère
La sphère de centre \(O\) et de rayon \(r\) est l’ensemble des points de l’espace situés à la distance \(r\) de \(O\) : c’est la « peau » du ballon. La boule est la sphère avec tout son intérieur.
Pour une sphère (ou une boule) de rayon \(r\) : \[ \mathcal{A} = 4\pi r^2 \qquad \text{et} \qquad V = \dfrac{4}{3}\pi r^3 \] L’aire s’exprime en unités carrées (cm²), le volume en unités cube (cm³).
Une balle a un rayon de \(6\) cm. Calcule l’aire de sa surface et son volume.
\(\mathcal{A} = 4 \times \pi \times 6^2 = 144\pi \approx 452{,}4\) cm². \(V = \dfrac{4}{3} \times \pi \times 6^3 = \dfrac{4}{3} \times 216\pi = 288\pi \approx 904{,}8\) cm³.
Dans le volume, le rayon est au cube (\(r^3\)) ; dans l’aire, il est au carré (\(r^2\)). Et là encore : si on te donne le diamètre, divise par \(2\).
5. Sections de solides
La section d’un solide par un plan est la figure plane que l’on obtient en « tranchant » le solide avec ce plan, comme quand on coupe un fruit avec un couteau.
| Solide | Plan de coupe | Section obtenue |
|---|---|---|
| Pavé droit | parallèle à une face | un rectangle identique à cette face |
| Cylindre | parallèle aux bases | un disque de même rayon que les bases |
| Cylindre | parallèle à l’axe | un rectangle |
| Pyramide | parallèle à la base | un polygone, réduction de la base |
| Cône | parallèle à la base | un disque, réduction du disque de base |
| Boule | n’importe quel plan | un disque (un grand disque si le plan passe par le centre) |
Quand on coupe une pyramide ou un cône par un plan parallèle à la base, le petit solide qui contient le sommet est une réduction du solide de départ : il a exactement la même forme, en plus petit.
Une sphère de centre \(O\) a un rayon de \(10\) cm. Un plan la coupe à \(6\) cm de \(O\). Quel est le rayon de la section ?
Soit \(O’\) le centre de la section et \(M\) un point du cercle de section. Le triangle \(OO’M\) est rectangle en \(O’\), avec \(OM = 10\) et \(OO’ = 6\). D’après le théorème de Pythagore, \(O’M^2 = 10^2 - 6^2 = 64\), donc \(O’M = 8\) cm.
6. Agrandissement et réduction
Quand on agrandit ou réduit un solide avec un coefficient \(k\) (\(k > 1\) : agrandissement ; \(0 < k < 1\) : réduction) :
– les longueurs sont multipliées par \(k\) ;
– les aires sont multipliées par \(k^2\) ;
– les volumes sont multipliés par \(k^3\).
Un bidon cylindrique contient \(1{,}2\) L. On fabrique un bidon trois fois plus grand dans toutes les directions (\(k = 3\)).
Son volume est multiplié par \(3^3 = 27\) : \(1{,}2 \times 27 = 32{,}4\) L. Ses surfaces, elles, sont multipliées par \(3^2 = 9\).
Un solide de \(500\) cm³ est réduit en un solide de \(4\) cm³. Le volume est multiplié par \(\dfrac{4}{500} = \dfrac{1}{125}\). Comme \(k^3 = \dfrac{1}{125}\), on a \(k = \dfrac{1}{5}\) : toutes les longueurs sont divisées par \(5\).
Doubler toutes les longueurs ne double pas le volume : il est multiplié par \(2^3 = 8\). Ne multiplie jamais un volume par \(k\) tout seul.
7. Conversions d’unités de volume et de capacité
\(1\) m³ \(= 1\,000\) dm³ \(= 1\,000\,000\) cm³ ; \(1\) dm³ \(= 1\) L ; \(1\) cm³ \(= 1\) mL ; \(1\) m³ \(= 1\,000\) L.
| m³ | dm³ | cm³ |
|---|---|---|
| 1 | 1 000 | 1 000 000 |
| 0,001 | 1 | 1 000 |
| 0,000001 | 0,001 | 1 |
Dans un tableau de conversion, chaque unité de volume occupe trois colonnes (une colonne pour chaque facteur \(10\)), alors qu’une unité de capacité n’en occupe qu’une. Le litre est au même niveau que le dm³.
- Écris l’unité de départ en plaçant le chiffre des unités dans la bonne colonne.
- Complète par des zéros pour que chaque unité de volume occupe trois colonnes.
- Lis le nombre dans l’unité d’arrivée.
\(2{,}3\) m³ \(= 2\,300\) dm³ \(= 2\,300\) L. Et \(450\) cm³ \(= 0{,}45\) dm³ \(= 0{,}45\) L \(= 45\) cL.
8. Se repérer sur une sphère
Sur la Terre, on repère un lieu avec deux nombres, comme on repère un point dans un plan avec deux coordonnées.
Les pôles Nord et Sud sont les extrémités de l’axe de rotation. L’équateur est le grand cercle situé à égale distance des pôles. Les parallèles sont les cercles parallèles à l’équateur ; les méridiens sont les demi-cercles qui joignent les deux pôles. Le méridien origine est celui qui passe par l’observatoire de Greenwich.
– La latitude est un angle de \(0^\circ\) à \(90^\circ\) mesuré depuis l’équateur, vers le Nord (N) ou vers le Sud (S). Elle indique le parallèle du point.
– La longitude est un angle de \(0^\circ\) à \(180^\circ\) mesuré depuis le méridien origine, vers l’Est (E) ou vers l’Ouest (O). Elle indique le méridien du point.
Le point \(M\) de la figure a pour coordonnées \((40^\circ \text{ N} \ ; \ 30^\circ \text{ E})\) : il est dans l’hémisphère Nord, à \(40^\circ\) de l’équateur, et à l’Est du méridien origine. Un point de coordonnées \((40^\circ \text{ S} \ ; \ 30^\circ \text{ E})\) est sur le même méridien que \(M\) ; un point \((40^\circ \text{ N} \ ; \ 70^\circ \text{ O})\) est sur le même parallèle.
Pour la longueur d’un parallèle, on se place dans un triangle rectangle : le parallèle de latitude \(\varphi\) est un cercle de rayon \(R \times \cos \varphi\), où \(R\) est le rayon de la sphère. L’équateur (\(\varphi = 0^\circ\)) est donc un cercle de rayon \(R\), de longueur \(2\pi R\). Pour la Terre (\(R \approx 6\,400\) km), le parallèle de latitude \(60^\circ\) a un rayon de \(6\,400 \times \dfrac{1}{2} = 3\,200\) km, soit une longueur de \(2\pi \times 3\,200 = 6\,400\pi \approx 20\,106\) km : deux fois plus court que l’équateur.
À retenir
- Cylindre : \(V = \pi r^2 h\). Pyramide : \(V = \dfrac{1}{3}Bh\). Cône : \(V = \dfrac{1}{3}\pi r^2 h\).
- Boule : \(V = \dfrac{4}{3}\pi r^3\) ; sphère : \(\mathcal{A} = 4\pi r^2\). On utilise toujours le rayon.
- Un plan parallèle à la base coupe une pyramide ou un cône en une réduction de la base ; toute section d’une boule est un disque.
- Avec un coefficient \(k\) : longueurs \(\times k\), aires \(\times k^2\), volumes \(\times k^3\).
- \(1\) m³ \(= 1\,000\) dm³ \(= 1\,000\) L ; \(1\) dm³ \(= 1\) L ; \(1\) cm³ \(= 1\) mL.
- Sur le globe : latitude (\(0^\circ\) à \(90^\circ\), N ou S) et longitude (\(0^\circ\) à \(180^\circ\), E ou O).
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