Dans un forfait de salle de sport, dans un budget de vacances ou dans un problème de mélange, on cherche souvent un nombre que l’on ne connaît pas : le nombre de séances, le prix d’un kilo, la durée maximale. Pour le trouver, on écrit une équation ou une inéquation, puis on la résout avec méthode. En seconde, tu vas apprendre à résoudre toutes les équations qui se ramènent au premier degré, à étudier le signe d’un produit ou d’un quotient avec un tableau de signes, et à résoudre des systèmes de deux équations.
1. Équations du premier degré
Une équation d’inconnue \(x\) est une égalité qui contient \(x\). Une solution est un nombre qui rend l’égalité vraie quand on le met à la place de \(x\). Résoudre l’équation, c’est trouver toutes ses solutions : on note leur ensemble \(S\).
On ne change pas les solutions d’une équation quand on ajoute ou retranche le même nombre aux deux membres, ou quand on les multiplie ou divise par un même nombre non nul.
- Développe et réduis chaque membre si besoin.
- Regroupe les termes en \(x\) d’un côté et les nombres de l’autre.
- Divise par le coefficient de \(x\).
- Vérifie en remplaçant, puis écris l’ensemble \(S\).
Résolvons \(3x - 7 = 5x + 9\).
On retranche \(5x\) aux deux membres : \(-2x - 7 = 9\). On ajoute \(7\) : \(-2x = 16\). On divise par \(-2\) : \(x = -8\).
Vérification : \(3 \times (-8) - 7 = -31\) et \(5 \times (-8) + 9 = -31\). Donc \(S = \{-8\}\).
Il existe deux cas particuliers. Si on arrive à une égalité toujours fausse comme \(0 = 4\) (par exemple avec \(2x + 3 = 2x + 7\)), l’équation n’a aucune solution : \(S = \varnothing\). Si on arrive à une égalité toujours vraie comme \(0 = 0\) (par exemple avec \(2(x + 1) = 2x + 2\)), tous les réels sont solutions.
2. Équations produit nul
Un produit de facteurs est nul si et seulement si l’un au moins de ses facteurs est nul : \[ A \times B = 0 \iff A = 0 \text{ ou } B = 0. \]
Résolvons \((2x - 5)(x + 3) = 0\).
Un produit est nul si l’un des facteurs est nul : \(2x - 5 = 0\) ou \(x + 3 = 0\), c’est-à-dire \(x = \dfrac{5}{2}\) ou \(x = -3\). Donc \(S = \left\{-3\,;\,\dfrac{5}{2}\right\}\).
Quand l’équation n’est pas déjà un produit, on factorise : avec un facteur commun, ou avec l’identité remarquable \(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)\).
Résolvons \((x + 1)^2 - 16 = 0\).
On factorise avec \(a = x + 1\) et \(b = 4\) : \((x + 1 - 4)(x + 1 + 4) = (x - 3)(x + 5) = 0\). Donc \(x = 3\) ou \(x = -5\).
La règle ne marche que pour un produit égal à zéro. Si \((x - 3)(x + 2) = 6\), il est faux d’écrire « \(x - 3 = 6\) ou \(x + 2 = 6\) » : il faut d’abord développer pour se ramener à \(0\) d’un côté.
3. Équations avec quotients
Un quotient \(\dfrac{A}{B}\) n’existe que si \(B \neq 0\). Les valeurs de \(x\) qui annulent le dénominateur sont les valeurs interdites : on les repère toujours en premier.
\(\dfrac{A}{B} = 0\) si et seulement si \(A = 0\) et \(B \neq 0\).
Pour \(B \neq 0\) et \(D \neq 0\) : \(\dfrac{A}{B} = \dfrac{C}{D} \iff A \times D = B \times C\).
Résolvons \(\dfrac{x + 2}{x - 1} = 3\).
La valeur interdite est \(1\). Pour \(x \neq 1\), on a \(x + 2 = 3(x - 1)\), soit \(x + 2 = 3x - 3\), donc \(5 = 2x\) et \(x = \dfrac{5}{2}\). Ce nombre est différent de \(1\) : \(S = \left\{\dfrac{5}{2}\right\}\).
Vérification : \(\dfrac{4{,}5}{1{,}5} = 3\).
Sur ma planète, on écrit la valeur interdite avant de calculer. Si une « solution » trouvée est une valeur interdite, on la rejette : elle n’a jamais le droit de figurer dans \(S\) !
4. Inéquations du premier degré
On peut ajouter ou retrancher le même nombre aux deux membres d’une inéquation sans changer le sens de l’inégalité. On peut multiplier ou diviser par un nombre strictement positif sans changer le sens. Mais si on multiplie ou divise par un nombre strictement négatif, on change le sens de l’inégalité.
Résolvons \(-3x + 5 \gt 11\).
On retranche \(5\) : \(-3x \gt 6\). On divise par \(-3\), donc on change le sens : \(x \lt -2\).
L’ensemble des solutions est l’intervalle \(S = ]-\infty\,;\,-2[\). Le nombre \(-2\) est exclu, car l’inégalité est stricte.
Diviser par \(-3\) retourne l’inégalité : \(-3x \gt 6\) donne \(x \lt -2\), pas \(x \gt -2\). Pour vérifier, teste un nombre : \(x = -5\) donne \(15 + 5 = 20 \gt 11\), c’est vrai.
5. Signe d’un produit, d’un quotient : le tableau de signes
Pour \(a \neq 0\), l’expression \(ax + b\) s’annule en \(x = -\dfrac{b}{a}\). Si \(a \gt 0\), elle est négative avant cette valeur et positive après ; si \(a \lt 0\), c’est l’inverse.
- Factorise l’expression et ramène le second membre à \(0\).
- Cherche la valeur où s’annule chaque facteur et range-les dans l’ordre croissant.
- Place le signe de chaque facteur dans une ligne, puis applique la règle des signes pour le produit ou le quotient.
- Lis les intervalles demandés (une double barre indique une valeur interdite).
Résolvons \((2x - 4)(x + 3) \leqslant 0\).
Le facteur \(2x - 4\) s’annule en \(2\), le facteur \(x + 3\) en \(-3\).
Le produit est négatif ou nul entre \(-3\) et \(2\) : \(S = [-3\,;\,2]\).
Résolvons \(\dfrac{x + 1}{x - 4} \lt 0\). La valeur interdite est \(4\).
Le quotient est strictement négatif entre \(-1\) et \(4\) : \(S = ]-1\,;\,4[\). Le \(4\) est exclu (valeur interdite) et le \(-1\) aussi (inégalité stricte).
6. Résoudre un problème
- Choisis l’inconnue et dis ce qu’elle représente, avec son unité.
- Traduis l’énoncé par une équation ou une inéquation.
- Résous-la.
- Vérifie que la solution est possible dans le contexte (positive, entière…).
- Rédige une phrase-réponse.
Une base nautique loue un canoë : \(14\) € de forfait, plus \(6\) € par heure. Avec un budget de \(50\) €, combien d’heures peut-on naviguer au maximum ?
Soit \(h\) la durée en heures. Le coût est \(14 + 6h\) et il doit vérifier \(14 + 6h \leqslant 50\), soit \(6h \leqslant 36\), donc \(h \leqslant 6\). On peut naviguer au plus \(6\) heures, et on paie alors exactement \(50\) €.
7. Systèmes de deux équations à deux inconnues
Un système de deux équations à deux inconnues \(x\) et \(y\) est un couple de deux équations. Une solution est un couple \((x\,;\,y)\) qui vérifie les deux équations à la fois.
Il y a deux méthodes. Par substitution, on exprime une inconnue avec l’autre dans une équation, puis on la remplace dans l’autre. Par combinaison, on additionne ou soustrait les équations, éventuellement multipliées par un nombre, pour faire disparaître une inconnue.
Résolvons \(\begin{cases} 2x + y = 11 \\ x - y = 1 \end{cases}\).
On additionne les deux équations : \(3x = 12\), donc \(x = 4\). Dans la seconde : \(4 - y = 1\), donc \(y = 3\). Vérification : \(2 \times 4 + 3 = 11\) et \(4 - 3 = 1\). Donc \(S = \{(4\,;\,3)\}\).
Chaque équation est celle d’une droite : la solution du système est le point d’intersection des deux droites. Si elles sont parallèles, il n’y a aucune solution ; si elles sont confondues, il y en a une infinité.
Résolvons \(\begin{cases} 3x + 2y = 7 \\ 5x - 3y = 18 \end{cases}\) par combinaison.
On multiplie la première par \(3\) et la seconde par \(2\) : \(9x + 6y = 21\) et \(10x - 6y = 36\). On additionne : \(19x = 57\), donc \(x = 3\). Puis \(2y = 7 - 9 = -2\), donc \(y = -1\). \(S = \{(3\,;\,-1)\}\).
À retenir
- On résout une équation du premier degré en isolant \(x\) ; on vérifie toujours le résultat.
- \(A \times B = 0\) équivaut à \(A = 0\) ou \(B = 0\) : on factorise pour se ramener à un produit nul.
- Pour un quotient, on cherche d’abord les valeurs interdites ; \(\dfrac{A}{B} = 0\) équivaut à \(A = 0\) et \(B \neq 0\).
- Multiplier ou diviser une inéquation par un nombre négatif change le sens de l’inégalité.
- Pour le signe d’un produit ou d’un quotient, on construit un tableau de signes.
- Un système se résout par substitution ou par combinaison ; graphiquement, c’est l’intersection de deux droites.
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