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Variations et extremums : corrigé du contrôle de maths 1ère à télécharger en PDF

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Corrigés de contrôles de maths en 1ère : Variations et extremums — Zyro, l’explorateur de Planète Maths

Corrigé du contrôle avec le barème détaillé. Compte tes points et repère ce qu’il faut revoir.

Durée conseillée : 45 minutes. Barème sur 20 points. Calculatrice autorisée seulement quand l’énoncé le précise.

1 Un trinôme / 3 pts

  1. \(f'(x) = 4x - 12 = 4(x - 3)\), négative pour \(x < 3\), positive pour \(x > 3\). (1 pt)
  2. \(f\) est décroissante sur \(]-\infty\,;\,3]\) et croissante sur \([3\,;\,+\infty[\) ; \(f(3) = 18 - 36 + 7 = -11\). (1 pt)
  3. Le minimum de \(f\) est \(-11\), atteint en \(x = 3\). (1 pt)

2 Un polynôme de degré 3 / 3 pts

  1. \(g'(x) = 3x^2 - 12x + 9 = 3(x^2 - 4x + 3) = 3(x-1)(x-3)\). (1 pt)
  2. \(g'\) est positive sur \([-1\,;\,1]\), négative sur \([1\,;\,3]\), positive sur \([3\,;\,4]\). Images : \(g(-1) = -1 - 6 - 9 - 1 = -17\), \(g(1) = 1 - 6 + 9 - 1 = 3\), \(g(3) = 27 - 54 + 27 - 1 = -1\), \(g(4) = 64 - 96 + 36 - 1 = 3\). Tableau : \(-17 \nearrow 3 \searrow -1 \nearrow 3\). (1 pt)
  3. Maximum \(3\) (atteint en \(x = 1\) et en \(x = 4\)) ; minimum \(-17\) en \(x = -1\). (1 pt)

3 Vrai ou faux ? / 3 pts

  1. Vrai : \(h'(x) = 3x^2 + 4 > 0\) pour tout \(x\). (1 pt)
  2. Faux : contre-exemple \(f(x) = (x-2)^3\), de dérivée \(3(x-2)^2\) nulle en \(2\) sans changer de signe ; \(f\) est croissante, sans extremum en \(2\). (1 pt)
  3. Vrai : \(k'(x) = -2x + 4\) vaut au moins \(2\) sur \([0\,;\,1]\), donc est positive. (1 pt)

4 Extremums sur un intervalle / 4 pts

  1. \(k'(x) = 3x^2 - 6x - 9 = 3(x^2 - 2x - 3) = 3(x - 3)(x + 1)\). (1 pt)
  2. \(k'\) est positive sur \([-2\,;\,-1]\), négative sur \([-1\,;\,3]\), positive sur \([3\,;\,4]\). (1 pt) Images : \(k(-2) = -8 - 12 + 18 + 2 = 0\), \(k(-1) = -1 - 3 + 9 + 2 = 7\), \(k(3) = 27 - 27 - 27 + 2 = -25\), \(k(4) = 64 - 48 - 36 + 2 = -18\). Tableau : \(0 \nearrow 7 \searrow -25 \nearrow -18\). (1 pt)
  3. Maximum global \(7\) en \(x = -1\) ; minimum global \(-25\) en \(x = 3\). (1 pt)

5 Un partage optimal / 4 pts

  1. \(y = 12 - x\), donc \(f(x) = x^2(12 - x) = 12x^2 - x^3\), avec \(x \in [0\,;\,12]\). (1 pt)
  2. \(f'(x) = 24x - 3x^2 = 3x(8 - x)\), positive sur \([0\,;\,8]\), négative sur \([8\,;\,12]\). (1 pt)
  3. \(f\) croît de \(f(0) = 0\) à \(f(8) = 64 \times 4 = 256\), puis décroît jusqu’à \(f(12) = 0\). (1 pt)
  4. Le produit est maximal pour \(x = 8\) et \(y = 4\) ; sa valeur maximale est \(256\). (1 pt)

6 Position relative / 3 pts

  1. \(f(x) - g(x) = x^2 - 6x + 8 = (x-2)(x-4)\). (1 pt)
  2. Positif sur \(]-\infty\,;\,2[\) et \(]4\,;\,+\infty[\), négatif sur \(]2\,;\,4[\) : \(\mathcal{C}_f\) est au-dessus de \(\mathcal{C}_g\) sur les deux premiers intervalles, en dessous sur \(]2\,;\,4[\). (1 pt)
  3. \(f(2) = 5 = g(2)\) et \(f(4) = 13 = g(4)\) : points communs \((2\,;\,5)\) et \((4\,;\,13)\). (1 pt)
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