Variations et extremums : exercices corrigés de maths 1ère à télécharger en PDF

1 Une parabole à étudier ★★★

1. \(f'(x) = 2x - 6 = 2(x - 3)\). Elle est négative pour \(x < 3\), nulle en \(3\) et positive pour \(x > 3\).
2. \(f\) est donc décroissante sur \(]-\infty\,;\,3]\) et croissante sur \([3\,;\,+\infty[\). On calcule \(f(3) = 9 - 18 + 4 = -5\).
3. Comme \(f\) décroît jusqu’en \(3\) puis croît, \(f(x) \geqslant f(3)\) pour tout réel \(x\). Le minimum de \(f\) est \(-5\), atteint en \(x = 3\).

2 Lecture d’une courbe ★★★

1. La courbe descend de \(x = -2\) à \(x = -1\), monte de \(-1\) à \(1\), puis redescend de \(1\) à \(2\). Donc \(u\) est décroissante sur \([-2\,;\,-1]\), croissante sur \([-1\,;\,1]\) et décroissante sur \([1\,;\,2]\).
2. On lit \(u(-2) = 2\), \(u(-1) = -2\), \(u(1) = 2\), \(u(2) = -2\). Tableau : \(2 \searrow -2 \nearrow 2 \searrow -2\).
3. \(u(-1) = -2\) est un minimum local ; \(u(1) = 2\) est un maximum local.

3 Du signe de la dérivée aux variations ★★★

1. Le produit \((x-2)(x+3)\) s’annule en \(-3\) et en \(2\). Son coefficient dominant est positif : il est positif sur \(]-\infty\,;\,-3[\), négatif sur \(]-3\,;\,2[\) et positif sur \(]2\,;\,+\infty[\).
2. \(f\) est croissante sur \(]-\infty\,;\,-3]\), décroissante sur \([-3\,;\,2]\), puis croissante sur \([2\,;\,+\infty[\).
3. \(f'\) passe de \(+\) à \(-\) en \(-3\) : maximum local en \(x = -3\). Elle passe de \(-\) à \(+\) en \(2\) : minimum local en \(x = 2\).

4 Vrai ou faux ? ★★★

1. Vrai. \(f'(x) = 3x^2 + 1 > 0\) pour tout réel \(x\), car \(3x^2 \geqslant 0\).
2. Faux. \(g(0) = 0\) et \(g(1) = 1\) : on a \(0 < 1\) et \(g(0) < g(1)\) : la fonction ne renverse pas l’ordre, donc elle n’est pas décroissante sur \(\mathbb{R}\). (Elle décroît sur \(]-\infty\,;\,0]\) seulement.)
3. Vrai. \(h'(x) = -3 < 0\) pour tout \(x\).
4. Faux. Pour \(f(x) = x^3\), on a \(f'(0) = 0\) mais \(f\) est strictement croissante sur \(\mathbb{R}\), donc sans extremum en \(0\) : la dérivée ne change pas de signe.

5 Le point le plus bas ★★★

1. \(f'(x) = 4x + 8 = 4(x + 2)\), négative si \(x < -2\), positive si \(x > -2\). \(f\) décroît sur \(]-\infty\,;\,-2]\) puis croît sur \([-2\,;\,+\infty[\), avec \(f(-2) = 8 - 16 - 1 = -9\).
2. D’après le tableau, \(f(-2) = -9\) est le minimum de \(f\) sur \(\mathbb{R}\) : pour tout \(x\), \(f(x) \geqslant f(-2) = -9\).

6 Deux extremums sur un intervalle ★★★

1. \(f'(x) = 3x^2 - 27 = 3(x - 3)(x + 3)\).
2. \(f'\) est positive sur \([-4\,;\,-3]\), négative sur \([-3\,;\,3]\), positive sur \([3\,;\,4]\). Images : \(f(-4) = -64 + 108 = 44\), \(f(-3) = -27 + 81 = 54\), \(f(3) = 27 - 81 = -54\), \(f(4) = 64 - 108 = -44\). Tableau : \(44 \nearrow 54 \searrow -54 \nearrow -44\).
3. Le maximum est \(54\) (en \(x = -3\), car \(54 > 44\)) et le minimum est \(-54\) (en \(x = 3\), car \(-54 < -44\)).

7 Un ballon lancé en l’air ★★★

1. \(h'(t) = -10t + 20 = -10(t - 2)\), positive pour \(t < 2\), négative pour \(t > 2\).
2. \(h\) croît sur \([0\,;\,2]\) puis décroît sur \([2\,;\,4]\). Le ballon est le plus haut à \(t = 2\) s : \(h(2) = -20 + 40 + 2 = 22\). Il atteint \(22\) m.
3. \(h(0) = 2\) et \(h(4) = -80 + 80 + 2 = 2\). La hauteur minimale est \(2\) m, atteinte au départ et à \(t = 4\) s.

8 Maximiser un bénéfice ★★★

1. \(B'(x) = -4x + 36 = -4(x - 9)\), positive sur \([0\,;\,9[\), négative sur \(]9\,;\,15]\). \(B\) croît de \(B(0) = -60\) à \(B(9) = -162 + 324 - 60 = 102\), puis décroît jusqu’à \(B(15) = -450 + 540 - 60 = 30\).
2. Le bénéfice est maximal pour \(x = 9\), soit \(900\) bols, et vaut \(102\) centaines d’euros, soit \(10\,200\) €.

9 Un trinôme au-dessus d’une droite ★★★

1. \(f(x) - g(x) = x^2 - 4x + 7 - x - 1 = x^2 - 5x + 6\), et \((x-2)(x-3) = x^2 - 5x + 6\). Les deux expressions sont égales.
2. Produit de racines \(2\) et \(3\), de coefficient dominant positif : positif sur \(]-\infty\,;\,2[\), négatif sur \(]2\,;\,3[\), positif sur \(]3\,;\,+\infty[\).
3. \(\mathcal{C}_f\) est au-dessus de \(\mathcal{C}_g\) sur \(]-\infty\,;\,2[\) et sur \(]3\,;\,+\infty[\), en dessous sur \(]2\,;\,3[\). Elles se coupent en \((2\,;\,3)\) car \(f(2) = 4 - 8 + 7 = 3 = g(2)\), et en \((3\,;\,4)\) car \(f(3) = 9 - 12 + 7 = 4 = g(3)\).

10 La boîte de volume maximal ★★★

1. La base mesure \(12 - 2x\), qui doit rester positive : \(x \in [0\,;\,6]\).
2. La base est un carré de côté \(12 - 2x\) et la hauteur vaut \(x\) : \(V(x) = x(12-2x)^2 = x(144 - 48x + 4x^2) = 4x^3 - 48x^2 + 144x\).
3. \(V'(x) = 12x^2 - 96x + 144 = 12(x^2 - 8x + 12) = 12(x - 2)(x - 6)\). Sur \([0\,;\,6]\), \(V'\) est positive sur \([0\,;\,2]\) et négative sur \([2\,;\,6]\). Donc \(V\) croît de \(V(0) = 0\) à \(V(2) = 128\), puis décroît jusqu’à \(V(6) = 0\).
4. Le volume est maximal pour \(x = 2\) cm : \(V(2) = 2 \times 8^2 = 128\ \text{cm}^3\).

11 Plusieurs extrema, un seul maximum ★★★

1. \(f'(x) = 3x^2 - 6x = 3x(x - 2)\), positive sur \([-1\,;\,0]\), négative sur \([0\,;\,2]\), positive sur \([2\,;\,3]\). Images : \(f(-1) = -1 - 3 + 2 = -2\), \(f(0) = 2\), \(f(2) = 8 - 12 + 2 = -2\), \(f(3) = 27 - 27 + 2 = 2\). Tableau : \(-2 \nearrow 2 \searrow -2 \nearrow 2\).
2. Le maximum global est \(2\), atteint en \(x = 0\) et en \(x = 3\). Le minimum global est \(-2\), atteint en \(x = -1\) et en \(x = 2\). Un extremum global peut être atteint plusieurs fois.

12 Une inégalité grâce au minimum ★★★

Posons \(f(x) = x^2 - 4x + 9\). Alors \(f'(x) = 2x - 4 = 2(x - 2)\) : \(f\) décroît sur \(]-\infty\,;\,2]\) et croît sur \([2\,;\,+\infty[\). Son minimum est \(f(2) = 4 - 8 + 9 = 5\).

Donc \(f(x) \geqslant 5\) pour tout réel \(x\), avec égalité uniquement pour \(x = 2\).

13 Retrouver les coefficients ★★★

\(f'(x) = 2x + b\). Un extremum local en \(3\) impose \(f'(3) = 0\), soit \(6 + b = 0\), donc \(b = -6\).

Ensuite \(f(3) = 1\) donne \(9 - 18 + c = 1\), donc \(c = 10\).

Vérification : \(f(x) = x^2 - 6x + 10\), \(f'(x) = 2(x-3)\) change de signe de \(-\) à \(+\) en \(3\), et \(f(3) = 1\) : c’est bien un minimum.

14 La dérivée s’annule, mais… ★★★

1. \(f'(x) = 3x^2 + 6x + 3 = 3(x^2 + 2x + 1) = 3(x+1)^2\).
2. Un carré est positif : \(f'(x) \geqslant 0\) pour tout \(x\), avec \(f'(x) = 0\) seulement en \(-1\). Donc \(f\) est strictement croissante sur \(\mathbb{R}\).
3. Non : \(f'(-1) = 0\) mais \(f'\) ne change pas de signe en \(-1\) (elle reste positive). La fonction passe seulement par un « palier » avec \(f(-1) = -1 + 3 - 3 = -1\), sans extremum.

15 Étude complète d’un polynôme ★★★

1. \(p'(x) = -3x^2 + 6x + 9 = -3(x^2 - 2x - 3) = -3(x - 3)(x + 1)\), car \((x-3)(x+1) = x^2 - 2x - 3\).
2. Le coefficient \(-3\) est négatif : \(p'\) est négative sur \([-2\,;\,-1]\), positive sur \([-1\,;\,3]\), négative sur \([3\,;\,4]\). Images : \(p(-2) = 8 + 12 - 18 - 2 = 0\), \(p(-1) = 1 + 3 - 9 - 2 = -7\), \(p(3) = -27 + 27 + 27 - 2 = 25\), \(p(4) = -64 + 48 + 36 - 2 = 18\). Tableau : \(0 \searrow -7 \nearrow 25 \searrow 18\).
3. Maximum \(25\) en \(x = 3\) ; minimum \(-7\) en \(x = -1\).
4. Sur \([-2\,;\,-1]\), \(p\) reste entre \(-7\) et \(0\) : aucune solution. Sur \([-1\,;\,3]\), \(p\) croît strictement de \(-7\) à \(25\), valeurs qui encadrent \(20\) : une solution. Sur \([3\,;\,4]\), \(p\) décroît strictement de \(25\) à \(18\), et \(18 < 20 < 25\) : une solution. Au total, deux solutions.

16 Le rectangle inscrit ★★★

1. La base mesure \(2x\) et la hauteur \(9 - x^2\) : \(A(x) = 2x(9 - x^2) = 18x - 2x^3\).
2. \(A'(x) = 18 - 6x^2 = 6(3 - x^2) = 6(\sqrt{3} - x)(\sqrt{3} + x)\). Sur \([0\,;\,3]\), \(A'\) est positive si \(x < \sqrt{3}\) et négative si \(x > \sqrt{3}\). Donc \(A\) croît sur \([0\,;\,\sqrt{3}]\) puis décroît sur \([\sqrt{3}\,;\,3]\).
3. L’aire est maximale pour \(x = \sqrt{3} \approx 1{,}73\). Alors \(A(\sqrt{3}) = 18\sqrt{3} - 2 \times 3\sqrt{3} = 12\sqrt{3} \approx 20{,}78\) unités d’aire.

17 Un cube et une parabole ★★★

1. \((x+1)(x-2)^2 = (x+1)(x^2 - 4x + 4) = x^3 - 4x^2 + 4x + x^2 - 4x + 4 = x^3 - 3x^2 + 4\), et \(f(x) - g(x) = x^3 - 3x^2 + 4\). L’égalité est démontrée.
2. Le facteur \((x-2)^2\) est toujours positif ou nul, nul seulement en \(2\). Le signe de \(f(x) - g(x)\) est donc celui de \(x + 1\) (pour \(x \neq 2\)) : négatif pour \(x < -1\), nul en \(-1\), positif pour \(x > -1\) et \(x \neq 2\), nul en \(2\).
3. La courbe de \(f\) est en dessous de celle de \(g\) sur \(]-\infty\,;\,-1[\), au-dessus sur \(]-1\,;\,2[\) et sur \(]2\,;\,+\infty[\). Points communs : \((-1\,;\,-1)\) et \((2\,;\,8)\). En \(x = 2\), la différence ne change pas de signe : les courbes se touchent sans se traverser, elles sont tangentes en ce point.

18 Pas d’extremum global sur \(\mathbb{R}\) ★★★

1. \(f(10) = 1000 - 30 = 970\) et \(f(-10) = -1000 + 30 = -970\).
2. Non : \(f(10) = 970 > 2\), donc \(2\) n’est pas le maximum global ; et \(f(-10) = -970 < -2\), donc \(-2\) n’est pas le minimum global. Les extremums locaux ne sont pas des extremums globaux.
3. Sur \([-2\,;\,2]\), le tableau est \(-2 \nearrow 2 \searrow -2 \nearrow 2\) : toutes les valeurs sont comprises entre \(-2\) et \(2\), donc le maximum global est \(2\) et le minimum global \(-2\).

19 Un paramètre dans la fonction ★★★

1. \(f_a'(x) = 3x^2 - 3a = 3(x^2 - a) = 3(x - \sqrt{a})(x + \sqrt{a})\), qui s’annule en \(\sqrt{a}\) et en \(-\sqrt{a}\).
2. \(f_a'\) est positive sur \(]-\infty\,;\,-\sqrt{a}[\), négative sur \(]-\sqrt{a}\,;\,\sqrt{a}[\), positive ensuite. Il y a donc un maximum local en \(-\sqrt{a}\) et un minimum local en \(\sqrt{a}\).
3. Maximum local : \(f_a(-\sqrt{a}) = -a\sqrt{a} + 3a\sqrt{a} = 2a\sqrt{a}\). On veut \(2a\sqrt{a} = 16\), soit \(a\sqrt{a} = 8\), et, comme \(a \mapsto a\sqrt{a}\) est strictement croissante sur \(]0\,;\,+\infty[\), \(a = 4\) (vérification : \(4 \times 2 = 8\)). La fonction est alors \(x^3 - 12x\), de maximum local \(16\) en \(x = -2\).

20 Le point de la parabole le plus proche ★★★

1. \(AM^2 = (x - 0)^2 + (x^2 - 3)^2 = x^2 + x^4 - 6x^2 + 9 = x^4 - 5x^2 + 9\).
2. \(g'(x) = 4x^3 - 10x = 2x(2x^2 - 5)\), qui s’annule en \(0\) et en \(\pm\sqrt{5/2}\). Avec \(r = \sqrt{5/2} \approx 1{,}58\) : \(g'\) est négative sur \(]-\infty\,;\,-r[\), positive sur \(]-r\,;\,0[\), négative sur \(]0\,;\,r[\), positive sur \(]r\,;\,+\infty[\). Donc \(g\) décroît, croît, décroît, puis croît ; \(g(0) = 9\) est un maximum local.
3. Les minimums locaux valent \(g(\pm r) = \dfrac{25}{4} - \dfrac{25}{2} + 9 = \dfrac{11}{4}\), et ils sont plus petits que \(g(0) = 9\) : \(\dfrac{11}{4}\) est le minimum global de \(g\). La distance minimale est donc \(AM = \sqrt{\dfrac{11}{4}} = \dfrac{\sqrt{11}}{2} \approx 1{,}66\), atteinte en \(x = \pm\sqrt{5/2}\).