Suites numériques : corrigé du contrôle de maths 1ère à télécharger en PDF

1 Termes explicites / 4 pts

1. \(u_0 = 2\) ; \(u_1 = 3 - 7 + 2 = -2\) ; \(u_2 = 12 - 14 + 2 = 0\) ; \(u_3 = 27 - 21 + 2 = 8\) (2 pts)
2. \(u_{n+1} = 3(n+1)^2 - 7(n+1) + 2 = 3n^2 + 6n + 3 - 7n - 7 + 2 = 3n^2 - n - 2\) (1 pt)
3. \(u_{10} = 300 - 70 + 2 = 232\) (1 pt)

2 Une récurrence / 3 pts

1. \(v_1 = 14\) ; \(v_2 = 28 - 1 = 27\) ; \(v_3 = 54 - 2 = 52\) ; \(v_4 = 104 - 3 = 101\) (2 pts)
2. \(v_{n+1} - v_n = 2v_n - n - v_n = v_n - n\). Pour \(n = 0, 1, 2, 3\) : \(7, 13, 25, 49\), tous positifs : on conjecture que la suite est croissante (1 pt)

3 Sens de variation / 3 pts

1. \(u_{n+1} - u_n = (n+1)^2 - 9(n+1) - n^2 + 9n = 2n + 1 - 9 = 2n - 8\) (1 pt)
2. \(2n - 8 < 0\) pour \(n \leq 3\), \(= 0\) pour \(n = 4\), \(> 0\) pour \(n \geq 5\) (1 pt)
3. La suite décroît jusqu’au rang \(4\), puis croît ; \(u_4 = u_5 = -15\) est le minimum (1 pt)

4 Méthode du quotient / 2 pts

\(w_0 = 5\) et \(w_1 = 3{,}75\) (0,5 pt). Les termes sont strictement positifs (0,5 pt) et \(\dfrac{w_{n+1}}{w_n} = 0{,}75 < 1\) (0,5 pt) : la suite est strictement décroissante (0,5 pt).

5 Modélisation d’une école de musique / 4 pts

1. Il reste \(80\) % des élèves, donc on multiplie par \(0{,}8\), puis on ajoute \(50\) (1,5 pt)
2. \(e_1 = 120 + 50 = 170\) ; \(e_2 = 136 + 50 = 186\) (1 pt)
3. \(e_{n+1} - e_n = 0{,}8e_n + 50 - e_n = 50 - 0{,}2e_n\) (1 pt). Cette différence est positive si \(e_n < 250\) (0,5 pt)

6 Algorithme de seuil / 4 pts

1. \(3, 5, 9, 17, 33, 65\) (1 pt)
2. La boucle s’arrête avec \(u = 65\), après \(5\) passages : l’algorithme affiche \(5\). C’est le premier rang \(n\) tel que \(u_n \geq 50\) (1,5 pt)
3. On remplace la condition par « tant que u < 1000 ». On poursuit : \(129, 257, 513, 1025\). Le premier terme supérieur ou égal à \(1000\) est \(u_9 = 1025\), donc \(n = 9\) (1,5 pt)