Suites numériques : contrôle de maths 1ère à télécharger en PDF

1 Termes explicites / 4 pts

Soit \(u_n = 3n^2 - 7n + 2\).

1. Calcule \(u_0\), \(u_1\), \(u_2\) et \(u_3\).
2. Exprime \(u_{n+1}\) en fonction de \(n\) et développe.
3. Calcule \(u_{10}\).

2 Une récurrence / 3 pts

Soit \(v_0 = 7\) et \(v_{n+1} = 2v_n - n\).

1. Calcule \(v_1, v_2, v_3, v_4\).
2. Montre que \(v_{n+1} - v_n = v_n - n\) et calcule cette différence pour \(n = 0, 1, 2, 3\). Que conjectures-tu ?

3 Sens de variation / 3 pts

Soit \(u_n = n^2 - 9n + 5\).

1. Montre que \(u_{n+1} - u_n = 2n - 8\).
2. Étudie le signe de cette différence.
3. Déduis-en les variations de la suite et son minimum.

4 Méthode du quotient / 2 pts

Soit \(w_n = 5 \times 0{,}75^n\). Calcule \(w_0\) et \(w_1\), puis étudie le sens de variation de \((w_n)\) en comparant \(\dfrac{w_{n+1}}{w_n}\) à \(1\).

5 Modélisation d’une école de musique / 4 pts

Une école de musique compte \(150\) élèves. Chaque année, \(20\) % des élèves partent et \(50\) nouveaux arrivent. On note \(e_n\) l’effectif après \(n\) années.

1. Justifie que \(e_{n+1} = 0{,}8\,e_n + 50\).
2. Calcule \(e_1\) et \(e_2\).
3. Montre que \(e_{n+1} - e_n = 50 - 0{,}2\,e_n\), puis que l’effectif augmente tant que \(e_n < 250\).

6 Algorithme de seuil / 4 pts

On considère l’algorithme :

n ← 0 ; u ← 3
tant que u < 50 :
    u ← 2 × u − 1
    n ← n + 1
afficher n

1. Écris les valeurs successives de \(u\).
2. Quelle valeur de \(n\) est affichée ? Interprète ce résultat.
3. Quelle modification permet de trouver le premier rang où \(u_n \geq 1000\) ? Donne ce rang.