Suites numériques : cours de maths 1ère

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Cours de maths en 1ère : Suites numériques — Zyro, l’explorateur de Planète Maths

Les abonnés d’une chaîne vidéo semaine après semaine, la hauteur d’un rebond après l’autre, le solde d’un compte chaque mois : tous ces phénomènes avancent pas à pas, avec un numéro. Les mathématiciens les décrivent par des suites numériques. Dans ce chapitre, tu vas apprendre à les définir de deux façons, à les représenter, à étudier si elles montent ou descendent, à les programmer et à les utiliser pour modéliser le réel.

Sommaire

1. Notion de suite et notation indicée

Suite numérique

Une suite numérique \((u_n)\) est une liste de réels numérotés par les entiers naturels : à chaque entier \(n\) on associe un réel noté \(u_n\), appelé terme de rang \(n\) (ou d’indice \(n\)). Le premier terme est le plus souvent \(u_0\).

La lettre \(u\) ne change pas, seul l’indice varie : \(u_0, u_1, u_2, u_3, \dots\) Il faut bien distinguer :

\(u_n\) : le terme de rang \(n\) (un nombre) ;
\((u_n)\) : la suite entière, vue comme un tout ;
\(u_{n+1}\) : le terme qui suit \(u_n\) ;
\(u_n + 1\) : le nombre \(u_n\) auquel on ajoute \(1\).

Piège

\(u_{n+1}\) et \(u_n + 1\) sont deux nombres différents. Si \(u_n = 5n\), alors \(u_{n+1} = 5n + 5\) alors que \(u_n + 1 = 5n + 1\). Pour obtenir \(u_{n+1}\), on remplace partout \(n\) par \(n+1\).

2. Suite définie explicitement

Définition explicite

Une suite est définie explicitement lorsque \(u_n\) s’exprime directement en fonction de \(n\) : \(u_n = f(n)\), où \(f\) est une fonction définie au moins sur \([0\,;+\infty[\).

Exemple 1

Soit \(u_n = 2n^2 - 3n + 1\) pour tout entier \(n\).

\(u_0 = 1\) ; \(u_1 = 2 - 3 + 1 = 0\) ; \(u_2 = 8 - 6 + 1 = 3\) ; \(u_{10} = 200 - 30 + 1 = 171\).

Pour \(u_{n+1}\), on remplace \(n\) par \(n+1\) : \(u_{n+1} = 2(n+1)^2 - 3(n+1) + 1 = 2n^2 + 4n + 2 - 3n - 3 + 1 = 2n^2 + n\). Contrôle avec \(n = 2\) : \(2 \times 4 + 2 = 10\) et on retrouve bien \(u_3 = 18 - 9 + 1 = 10\).

Grand avantage : on calcule n’importe quel terme sans connaître les précédents.

3. Suite définie par récurrence

Définition par récurrence

Une suite est définie par récurrence lorsqu’on donne son premier terme et une relation qui permet de passer d’un terme au suivant : \(u_{n+1} = f(u_n)\).

Exemple 2

Soit \(u_0 = 2\) et \(u_{n+1} = 3u_n - 1\).

\(u_1 = 3 \times 2 - 1 = 5\) ; \(u_2 = 3 \times 5 - 1 = 14\) ; \(u_3 = 3 \times 14 - 1 = 41\).

Inconvénient : pour connaître \(u_{50}\), il faut en principe calculer les cinquante termes précédents. C’est là que l’ordinateur devient précieux.

Astuce de Zyro

Quand tu calcules une suite récurrente à la main, écris une petite chaîne : « \(u_0 \to u_1 \to u_2 \to \dots\) » et recopie le résultat précédent avant de refaire l’opération. Les erreurs viennent presque toujours d’un terme mal recopié !

Piège

Dans \(u_{n+1} = f(u_n)\), on applique \(f\) au terme \(u_n\), et non au rang \(n\). Avec \(u_{n+1} = 3u_n - 1\), le calcul de \(u_1\) utilise \(u_0\), jamais le nombre \(0\) lui-même.

4. Représentation graphique

Pour une suite définie explicitement, on représente le nuage de points \((n\,;u_n)\). Les points sont isolés : on ne les relie pas, car il n’existe pas de terme « entre » \(u_2\) et \(u_3\).

Ci-dessus, le nuage de la suite \(u_n = n^2 - 6n\) : les points descendent jusqu’au rang \(3\) puis remontent.

Pour une suite récurrente \(u_{n+1} = f(u_n)\), on utilise la courbe de \(f\) et la droite d’équation \(y = x\), qui sert à « renvoyer » une ordonnée sur l’axe des abscisses.

Construire la ligne en escalier

Trace la courbe de \(f\) et la droite \(y = x\).
Place \(u_0\) sur l’axe des abscisses.
Monte jusqu’à la courbe : tu atteins la hauteur \(u_1 = f(u_0)\).
Va horizontalement jusqu’à la droite \(y = x\) : l’abscisse du point trouvé est \(u_1\).
Recommence depuis ce point pour obtenir \(u_2\), puis \(u_3\)…

Ici \(f(x) = 0{,}5x + 2\) et \(u_0 = 1\) : on lit \(u_1 = 2{,}5\), \(u_2 = 3{,}25\), \(u_3 = 3{,}625\). Les termes semblent se rapprocher de \(4\).

5. Sens de variation d’une suite

Suite croissante, décroissante

La suite \((u_n)\) est croissante si, pour tout entier \(n\), \(u_{n+1} \geq u_n\). Elle est décroissante si \(u_{n+1} \leq u_n\), et constante si \(u_{n+1} = u_n\). Avec des inégalités strictes, on dit « strictement ». Une suite croissante ou décroissante est dite monotone.

Deux critères

1. Le signe de la différence \(u_{n+1} - u_n\) donne le sens de variation : si elle est positive pour tout \(n\), la suite est croissante ; si elle est négative, elle est décroissante.

2. Si \(u_n = f(n)\) avec \(f\) croissante (resp. décroissante) sur \([0\,;+\infty[\), alors \((u_n)\) est croissante (resp. décroissante).

Pour une suite dont tous les termes sont strictement positifs, on peut aussi comparer le quotient \(\dfrac{u_{n+1}}{u_n}\) à \(1\).

Exemple 3

Étudier la suite \(u_n = n^2 - 6n\).

\(u_{n+1} - u_n = (n+1)^2 - 6(n+1) - n^2 + 6n = 2n + 1 - 6 = 2n - 5\).

Cette différence est négative pour \(n \leq 2\) et positive pour \(n \geq 3\). Donc \(u_3 < u_2 < u_1 < u_0\) puis la suite remonte : elle n’est ni croissante ni décroissante. Les valeurs \(0, -5, -8, -9, -8, -5, 0\) le confirment : le minimum est \(u_3 = -9\).

Exemple 4

Étudier \(v_n = 4 \times 1{,}5^n\).

Tous les termes sont strictement positifs et \(\dfrac{v_{n+1}}{v_n} = \dfrac{4 \times 1{,}5^{n+1}}{4 \times 1{,}5^n} = 1{,}5 > 1\). Donc \(v_{n+1} > v_n\) : la suite est strictement croissante.

Piège

On étudie bien \(u_{n+1} - u_n\) et non \(u_n - u_{n+1}\), sinon le sens est inversé. Et le critère 2 ne marche que dans un sens : la suite \(u_n = n^2 - 6n\) vient de la fonction \(x \mapsto x^2 - 6x\), qui n’est pas monotone sur \([0\,;+\infty[\).

6. Suites et algorithmes

Un programme calcule un terme en répétant la relation de récurrence dans une boucle.

Exemple 5 : calculer un terme

Pour la suite de l’exemple 2 (\(u_0 = 2\), \(u_{n+1} = 3u_n - 1\)), la fonction ci-dessous renvoie \(u_n\) :

def terme(n) :
    u ← 2
    pour i allant de 1 à n :
        u ← 3 × u − 1
    renvoyer u

Pour \(n = 3\), la variable \(u\) prend successivement les valeurs \(2, 5, 14, 41\) et la fonction renvoie \(41\).

Exemple 6 : chercher un seuil

On cherche le plus petit rang \(n\) tel que \(u_n > 100\) :

n ← 0 ; u ← 2
tant que u ≤ 100 :
u ← 3 × u − 1
n ← n + 1

Les valeurs successives de \(u\) sont \(2, 5, 14, 41, 122\). La boucle s’arrête quand \(u = 122\), donc \(n = 4\) : \(u_4\) est le premier terme supérieur à \(100\).

7. Modéliser un phénomène discret

Un phénomène est discret quand on l’observe à des instants numérotés (chaque année, chaque jour…). Deux modèles reviennent souvent :

une augmentation fixe de \(a\) à chaque étape : \(u_{n+1} = u_n + a\) ;
une variation de \(t\) % à chaque étape : \(u_{n+1} = \left(1 + \dfrac{t}{100}\right) u_n\) (le coefficient est \(1 - \dfrac{t}{100}\) pour une baisse).

Exemple 7

Une médiathèque possède \(2\,500\) livres. Chaque année, elle retire \(4\) % de son stock et achète \(150\) nouveaux livres. Soit \(u_n\) le nombre de livres après \(n\) années.

Perdre \(4\) % revient à multiplier par \(0{,}96\), donc \(u_{n+1} = 0{,}96\,u_n + 150\) avec \(u_0 = 2\,500\).

\(u_1 = 0{,}96 \times 2500 + 150 = 2550\) ; \(u_2 = 0{,}96 \times 2550 + 150 = 2598\).

Le nuage montre que le stock augmente chaque année, mais de moins en moins vite : les ajouts de livres compensent de plus en plus les retraits.

À retenir

\(u_n\) est le terme de rang \(n\) ; \(u_{n+1}\) s’obtient en remplaçant \(n\) par \(n+1\), ce n’est pas \(u_n + 1\).
Explicite : \(u_n = f(n)\). Récurrente : \(u_0\) donné et \(u_{n+1} = f(u_n)\).
Nuage de points \((n\,;u_n)\) pour une suite explicite ; courbe de \(f\), droite \(y = x\) et escalier pour une récurrence.
Croissante : \(u_{n+1} - u_n \geq 0\) ; décroissante : \(u_{n+1} - u_n \leq 0\) ; avec des termes positifs, on peut comparer \(\dfrac{u_{n+1}}{u_n}\) à \(1\).
Une boucle calcule les termes, une boucle « tant que » cherche un seuil.
Variation de \(t\) % par étape : on multiplie par \(1 + \dfrac{t}{100}\).