Produit scalaire : contrôle de maths 1ère à télécharger en PDF

1 Calculs en coordonnées / 3 pts

Dans un repère orthonormé, \(\vec{u}\begin{pmatrix} 5 \\ -2 \end{pmatrix}\), \(\vec{v}\begin{pmatrix} 3 \\ 7 \end{pmatrix}\) et \(\vec{w}\begin{pmatrix} 4 \\ 10 \end{pmatrix}\).

1. Calcule \(\vec{u}\cdot\vec{v}\).
2. \(\vec{u}\) et \(\vec{w}\) sont-ils orthogonaux ?
3. Calcule \(\|\vec{u}\|\).

2 Projeté orthogonal / 3 pts

\(ABCD\) est un rectangle avec \(AB = 9\) et \(AD = 4\). Calcule : a) \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}\) ; b) \(\overrightarrow{AD}\cdot\overrightarrow{AC}\) ; c) \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{CD}\).

3 Définition et Al-Kashi / 3 pts

Dans \(ABC\), \(AB = 4\), \(AC = 6\) et \(\widehat{A} = 60^\circ\).

1. Calcule \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}\).
2. Calcule \(BC^2\) puis \(BC\).

4 Médiane / 4 pts

Dans \(ABC\), \(AB = 5\), \(AC = 9\) et \(BC = 8\). Le point \(I\) est le milieu de \([BC]\).

1. Énonce le théorème de la médiane pour \(AI\).
2. Calcule \(AI^2\), puis \(AI\) (valeur exacte).
3. Donne une valeur approchée de \(AI\) au centième (calculatrice autorisée).

5 Angle dans un repère / 4 pts

Dans un repère orthonormé, \(A(1\,;\,1)\), \(B(5\,;\,2)\), \(C(3\,;\,4)\).

1. Calcule \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}\).
2. Calcule \(AB\) et \(AC\).
3. Déduis \(\cos\widehat{A}\).
4. Donne une valeur approchée de \(\widehat{A}\) au dixième de degré (calculatrice autorisée).

6 Angle d’un triangle / 3 pts

Un triangle a pour côtés \(4\), \(5\) et \(6\). Calcule l’angle opposé au côté de longueur \(6\), arrondi au dixième de degré (calculatrice autorisée).