Produit scalaire : exercices de maths 1ère à télécharger en PDF

1 Quatre angles remarquables ★★★

On donne \(\|\vec{u}\| = 5\) et \(\|\vec{v}\| = 2\). Calcule \(\vec{u}\cdot\vec{v}\) lorsque l’angle entre les deux vecteurs vaut : a) \(0^\circ\) ; b) \(60^\circ\) ; c) \(90^\circ\) ; d) \(180^\circ\).

2 Norme et carré scalaire ★★★

On donne \(\vec{u}\begin{pmatrix} -3 \\ 4 \end{pmatrix}\) et \(\vec{v}\begin{pmatrix} 5 \\ 12 \end{pmatrix}\). Calcule \(\vec{u}\cdot\vec{u}\) et \(\|\vec{u}\|\), puis \(\vec{v}\cdot\vec{v}\) et \(\|\vec{v}\|\).

3 Produit scalaire en coordonnées ★★★

Calcule : a) \(\vec{u}\cdot\vec{v}\) avec \(\vec{u}\begin{pmatrix} 7 \\ -1 \end{pmatrix}\) et \(\vec{v}\begin{pmatrix} 2 \\ 6 \end{pmatrix}\) ; b) \(\vec{a}\cdot\vec{b}\) avec \(\vec{a}\begin{pmatrix} -3 \\ 4 \end{pmatrix}\) et \(\vec{b}\begin{pmatrix} 5 \\ 2 \end{pmatrix}\).

4 Orthogonaux ou non ? ★★★

Dis si les vecteurs sont orthogonaux : a) \(\vec{u}\begin{pmatrix} 4 \\ -6 \end{pmatrix}\) et \(\vec{v}\begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix}\) ; b) \(\vec{a}\begin{pmatrix} 5 \\ 1 \end{pmatrix}\) et \(\vec{b}\begin{pmatrix} 2 \\ -3 \end{pmatrix}\).

5 Dans un carré ★★★

\(ABCD\) est un carré de côté \(6\). Calcule : a) \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AD}\) ; b) \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}\) ; c) \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{CD}\).

6 Triangle équilatéral ★★★

\(ABC\) est un triangle équilatéral de côté \(4\). Calcule \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}\), puis \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{BC}\).

7 Vrai ou faux ? ★★★

Dis si chaque affirmation est vraie ou fausse, et justifie.

1. \(\vec{u}\cdot\vec{v} = \vec{v}\cdot\vec{u}\).
2. Si \(\vec{u}\cdot\vec{v} = 0\), alors \(\vec{u} = \vec{0}\) ou \(\vec{v} = \vec{0}\).
3. \(\|\vec{u}+\vec{v}\| = \|\vec{u}\| + \|\vec{v}\|\) pour tous vecteurs.

8 Retrouver un angle ★★★

On donne \(\|\vec{u}\| = 2\), \(\|\vec{v}\| = 3\) et \(\|\vec{u}+\vec{v}\| = \sqrt{7}\). Calcule \(\vec{u}\cdot\vec{v}\), puis l’angle entre \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\).

9 Développer une norme ★★★

On donne \(\|\vec{u}\| = 4\), \(\|\vec{v}\| = 3\) et \(\vec{u}\cdot\vec{v} = 5\). Calcule \(\|\vec{u}-\vec{v}\|^2\), \(\|\vec{u}+\vec{v}\|^2\) et \((\vec{u}+\vec{v})\cdot(\vec{u}-\vec{v})\).

10 Projections dans un rectangle ★★★

\(ABCD\) est un rectangle avec \(AB = 8\) cm et \(AD = 5\) cm. Le point \(E\) est sur \([AB]\) avec \(AE = 3\) cm.

Calcule \(\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{AB}\), \(\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{AE}\) et \(\overrightarrow{BD}\cdot\overrightarrow{AB}\).

11 Angle dans un repère ★★★

Dans un repère orthonormé, \(A(1\,;\,2)\), \(B(5\,;\,3)\), \(C(2\,;\,6)\). Calcule \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}\), puis une valeur approchée de l’angle \(\widehat{BAC}\) au dixième de degré.

12 Al-Kashi à 120° ★★★

Dans \(ABC\), \(AB = 7\), \(AC = 9\) et \(\widehat{A} = 120^\circ\). Calcule \(BC\) (valeur exacte, puis arrondi au centième).

13 Un angle avec trois côtés ★★★

Un triangle a pour côtés \(5\), \(6\) et \(7\). Calcule l’angle opposé au côté de longueur \(7\), arrondi au dixième de degré.

14 Longueur d’une médiane ★★★

Dans \(ABC\), \(AB = 9\), \(AC = 7\) et \(BC = 10\). Le point \(I\) est le milieu de \([BC]\). Calcule \(AI\).

15 Un paramètre ★★★

Détermine le réel \(m\) tel que : a) \(\vec{u}\begin{pmatrix} m \\ 3 \end{pmatrix}\) et \(\vec{v}\begin{pmatrix} 4 \\ -2 \end{pmatrix}\) soient orthogonaux ; b) \(\vec{a}\begin{pmatrix} m \\ 2 \end{pmatrix}\) et \(\vec{b}\begin{pmatrix} m \\ -8 \end{pmatrix}\) soient orthogonaux.

16 Triangle rectangle et aire ★★★

Dans un repère orthonormé, \(A(-2\,;\,1)\), \(B(2\,;\,-1)\), \(C(4\,;\,3)\). Démontre que \(ABC\) est rectangle en \(B\), puis calcule son aire.

17 Cercle de diamètre [AB] ★★★

Dans un repère orthonormé, \(A(-1\,;\,0)\) et \(B(5\,;\,0)\). On cherche l’ensemble des points \(M(x\,;\,y)\) tels que \(\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB} = 0\).

1. Vérifie que \(M(2\,;\,3)\) convient.
2. Montre que la condition équivaut à \((x-2)^2 + y^2 = 9\) et décris l’ensemble.

18 Le travail d’une force ★★★

Un randonneur tire un traîneau sur \(12\) m en ligne droite avec une force de \(150\) N dont la direction fait un angle de \(30^\circ\) avec le déplacement. Le travail de la force est le produit scalaire \(\vec{F}\cdot\overrightarrow{AB}\) (en joules). Calcule-le, valeur exacte puis arrondi au joule.

19 Hauteurs d’un triangle ★★★

Dans un repère orthonormé, \(A(1\,;\,-1)\), \(B(4\,;\,1)\), \(C(0\,;\,4)\). Détermine une équation de la hauteur issue de \(C\), une équation de la hauteur issue de \(A\), puis les coordonnées de leur point d’intersection \(H\).

20 Diagonales d’un parallélogramme ★★★

Dans le parallélogramme \(ABCD\), \(AB = 6\), \(AD = 4\) et \(AC = 8\). Calcule \(BD\). Indice : applique le théorème de la médiane avec le centre \(O\) du parallélogramme.

21 Un ensemble de points ★★★

On donne \(A\) et \(B\) avec \(AB = 6\), et \(I\) le milieu de \([AB]\). Détermine l’ensemble des points \(M\) tels que \(MA^2 + MB^2 = 34\).

22 Le terrain triangulaire ★★★

Un terrain triangulaire \(ABC\) a \(AB = 120\) m, \(AC = 150\) m et \(\widehat{A} = 70^\circ\). Calcule la longueur de clôture à poser le long de \([BC]\), arrondie au dixième de mètre.