Probabilités conditionnelles : corrigé du contrôle de maths 1ère à télécharger en PDF

1 Tableau croisé / 4 pts

(a) \(P(A)=\dfrac{140}{240}=\dfrac{7}{12}\) et \(P(B)=\dfrac{96}{240}=\dfrac25\). (1 pt)

(b) \(P_J(B)=\dfrac{60}{100}=\dfrac35\). (1 pt)

(c) \(P_B(J)=\dfrac{60}{96}=\dfrac58\). (1 pt)

(d) \(P(A\cap B)=\dfrac{36}{240}=0{,}15\) alors que \(P(A)P(B)=\dfrac{7}{12}\times\dfrac25=\dfrac{7}{30}\approx 0{,}233\). Les valeurs diffèrent : les événements ne sont pas indépendants. (1 pt)

2 Le verger / 5 pts

(a) Premier niveau : \(G\) (0,7) et \(R\) (0,3). Deuxième niveau : après \(G\), \(A\) (0,10) et \(\overline{A}\) (0,90) ; après \(R\), \(A\) (0,25) et \(\overline{A}\) (0,75). (1 pt)

(b) \(P(G\cap A)=0{,}7\times 0{,}10=0{,}07\). (1 pt)

(c) \(\{G,R\}\) est une partition : \(P(A)=0{,}07+0{,}3\times 0{,}25=0{,}07+0{,}075=0{,}145\). (1,5 pt)

(d) \(P_A(G)=\dfrac{0{,}07}{0{,}145}=\dfrac{14}{29}\approx 0{,}483\). (1,5 pt)

3 Indépendance et réunion / 4 pts

(a) \(P(A\cap B)=P(A)+P(B)-P(A\cup B)=0{,}6+0{,}5-0{,}8=0{,}3\). (1 pt)

(b) \(P(A)P(B)=0{,}3=P(A\cap B)\) : indépendants. (1 pt)

(c) \(P_A(B)=\dfrac{0{,}3}{0{,}6}=0{,}5=P(B)\). (1 pt)

(d) \(\overline{A}\cap\overline{B}\) est le contraire de \(A\cup B\) : \(P=1-0{,}8=0{,}2\), et \(P(\overline{A})P(\overline{B})=0{,}4\times 0{,}5=0{,}2\). (1 pt)

4 Les caisses d’un magasin / 4 pts

(a) Un client passe à une seule caisse : les événements sont incompatibles et \(0{,}5+0{,}3+0{,}2=1\) donc leur réunion est l’univers. (1 pt)

(b) \(P(T)=0{,}5\times 0{,}1+0{,}3\times 0{,}2+0{,}2\times 0{,}4=0{,}05+0{,}06+0{,}08=0{,}19\). (2 pts)

(c) \(\dfrac{0{,}08}{0{,}19}=\dfrac{8}{19}\approx 0{,}421\). (1 pt)

5 Billes sans remise / 3 pts

(a) \(\dfrac38\times\dfrac27=\dfrac{6}{56}=\dfrac{3}{28}\). (1 pt)

(b) \(\dfrac38\times\dfrac57+\dfrac58\times\dfrac37=\dfrac{15}{56}+\dfrac{15}{56}=\dfrac{30}{56}=\dfrac{15}{28}\). (1 pt)

(c) Il reste 7 billes dont 5 jaunes : \(\dfrac57\). (1 pt)