Géométrie repérée : exercices de maths 1ère à télécharger en PDF

1 Lire un vecteur normal ★★★

Dans un repère orthonormé, on considère la droite \(d\) d’équation \(4x - 3y + 7 = 0\).

1. Donne un vecteur normal et un vecteur directeur de \(d\).
2. Les points \(A(2\,;\,5)\) et \(B(1\,;\,-1)\) appartiennent-ils à \(d\) ?

2 Point et vecteur normal ★★★

Détermine une équation cartésienne de la droite passant par \(A(3\,;\,-2)\) et de vecteur normal \(\vec{n}(2\,;\,5)\).

3 Point et vecteur directeur ★★★

Donne une équation cartésienne de la droite passant par \(B(0\,;\,3)\) et de vecteur directeur \(\vec{u}(2\,;\,1)\).

4 Parallèles ou perpendiculaires ? ★★★

On donne \(d_1 : 3x + 6y - 1 = 0\), \(d_2 : x + 2y + 5 = 0\) et \(d_3 : 2x - y + 4 = 0\). Étudie la position relative de \(d_1\) et \(d_2\), puis de \(d_2\) et \(d_3\), puis de \(d_1\) et \(d_3\).

5 Écrire l’équation d’un cercle ★★★

Donne l’équation du cercle de centre \(\Omega(-2\,;\,5)\) et de rayon \(3\), puis développe-la sous la forme \(x^2 + y^2 + \dots = 0\).

6 Un point est-il sur le cercle ? ★★★

Le cercle \(\mathcal{C}\) a pour équation \((x - 1)^2 + (y + 3)^2 = 20\). Les points \(A(5\,;\,-5)\), \(B(0\,;\,1)\) et \(C(-3\,;\,-1)\) sont-ils sur \(\mathcal{C}\) ?

7 Vrai ou faux ? ★★★

Dis si chaque affirmation est vraie ou fausse, et justifie.

1. Le vecteur \((10\,;\,-4)\) est normal à la droite d’équation \(5x - 2y + 1 = 0\).
2. Le vecteur \((5\,;\,2)\) est directeur de la droite d’équation \(5x - 2y + 1 = 0\).
3. Le vecteur \((0\,;\,1)\) est normal à la droite d’équation \(x = 3\).

8 Droite passant par deux points ★★★

Détermine une équation cartésienne de la droite \((AB)\) pour \(A(1\,;\,2)\) et \(B(4\,;\,-2)\), en passant par un vecteur normal.

9 Parallèle et perpendiculaire en un point ★★★

Soit \(d : 5x + 2y - 3 = 0\) et \(P(-2\,;\,1)\). Donne une équation de la parallèle à \(d\) passant par \(P\) et de la perpendiculaire à \(d\) passant par \(P\).

10 Hauteurs et orthocentre ★★★

Dans un repère orthonormé, on donne \(A(-1\,;\,0)\), \(B(5\,;\,2)\) et \(C(1\,;\,6)\).

1. Détermine une équation de la hauteur issue de \(A\) et de celle issue de \(B\).
2. En déduire les coordonnées de l’orthocentre \(H\) du triangle.

11 Cercle centré en A passant par B ★★★

Détermine l’équation du cercle de centre \(A(1\,;\,-2)\) passant par \(B(4\,;\,2)\), puis développe-la.

12 Centre et rayon à partir d’une équation ★★★

Montre que l’équation \(x^2 + y^2 + 8x - 2y + 8 = 0\) est celle d’un cercle dont tu préciseras le centre et le rayon.

13 Une droite coupe un cercle ★★★

Détermine les points d’intersection du cercle \(x^2 + y^2 = 13\) et de la droite \(y = x + 1\).

14 Tangente en un point de x² + y² = 25 ★★★

Vérifie que \(A(3\,;\,-4)\) est sur le cercle de centre \(O(0\,;\,0)\) et de rayon \(5\), puis donne une équation de la tangente en \(A\).

15 Médiatrice d’un segment ★★★

Détermine l’ensemble des points \(M\) équidistants de \(A(-3\,;\,1)\) et \(B(5\,;\,5)\), puis vérifie que le résultat est bien la médiatrice de \([AB]\).

16 Cercle de diamètre [AB] ★★★

Soit \(A(-2\,;\,-1)\) et \(B(4\,;\,3)\). Détermine l’équation du cercle de diamètre \([AB]\) à l’aide du produit scalaire, puis donne son centre et son rayon.

17 Une corde qui est un diamètre ★★★

Le cercle \(\mathcal{C}\) a pour équation \((x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 10\) et la droite \(d\) pour équation \(3x - y - 1 = 0\).

1. Détermine les points d’intersection \(M\) et \(N\) de \(d\) et \(\mathcal{C}\).
2. Calcule \(MN\). Que remarques-tu ? Explique-le.

18 Nombre de points communs selon un paramètre ★★★

Soit \(m\) un réel, \(\mathcal{C} : x^2 + y^2 = 20\) et \(d_m : y = 2x + m\).

1. Montre que les abscisses des points communs vérifient \(5x^2 + 4mx + m^2 - 20 = 0\).
2. Discute, selon \(m\), le nombre de points communs.
3. Pour \(m = 10\), détermine le point de contact et vérifie que \(d_{10}\) est tangente à \(\mathcal{C}\).

19 Quel est cet ensemble ? ★★★

Dans chaque cas, détermine la nature de l’ensemble \(E\) des points \(M(x\,;\,y)\) vérifiant l’équation donnée.

1. \(x^2 + y^2 - 4x + 6y + 13 = 0\)
2. \(x^2 + y^2 - 4x + 6y + 20 = 0\)
3. \(x^2 + y^2 - 4x + 6y - 12 = 0\)

20 Un lieu de points : MA = 2MB ★★★

Soit \(A(0\,;\,0)\) et \(B(3\,;\,0)\). Détermine l’ensemble des points \(M\) tels que \(MA = 2\,MB\).

21 Tangentes issues d’un point extérieur ★★★

Soit \(\mathcal{C}\) le cercle de centre \(O\) et de rayon \(5\), et \(P(10\,;\,5)\).

1. Montre que \(P\) est extérieur à \(\mathcal{C}\).
2. Soit \(T(a\,;\,b)\) un point de contact d’une tangente issue de \(P\). Traduis par deux équations que \(T \in \mathcal{C}\) et \(\overrightarrow{OT}\cdot\overrightarrow{TP} = 0\), puis détermine \(T\).
3. Donne une équation de chaque tangente.