Variables aléatoires et loi binomiale : cours de maths Terminale

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Cours de maths en Terminale : Variables aléatoires et loi binomiale — Zyro, l’explorateur de Planète Maths

Le hasard n’est pas désordonné : il obéit à des lois que l’on sait décrire, résumer par quelques nombres et même prévoir quand on répète une expérience un grand nombre de fois. Dans ce chapitre, tu apprends à transformer un résultat aléatoire en nombre, à le résumer par son espérance et son écart type, puis à maîtriser le modèle le plus utile du lycée : la loi binomiale.

Sommaire

1. Variable aléatoire et loi de probabilité

Variable aléatoire

Soit un univers \(\Omega\) fini muni d’une probabilité \(P\). Une variable aléatoire réelle \(X\) est une fonction qui associe un nombre réel à chaque issue de l’expérience. Si \(X\) prend les valeurs \(x_1, x_2, \dots, x_n\), sa loi de probabilité est la donnée des probabilités \(p_i = P(X = x_i)\).

Les événements \(\{X = x_i\}\) forment une partition de \(\Omega\) : on a toujours \(p_1 + p_2 + \dots + p_n = 1\). On présente la loi dans un tableau. Par exemple, au jeu de la roue des saisons, on tourne une roue et le gain \(X\) (en euros) vaut \(-2\), \(1\) ou \(5\) :

\(x_i\)	\(-2\)	\(1\)	\(5\)
\(P(X = x_i)\)	\(0{,}3\)	\(0{,}5\)	\(0{,}2\)

La somme vaut bien \(0{,}3 + 0{,}5 + 0{,}2 = 1\). Un événement comme « gagner au moins 1 euro » s’écrit \(\{X \geqslant 1\}\) et sa probabilité s’obtient en additionnant : \(P(X \geqslant 1) = 0{,}5 + 0{,}2 = 0{,}7\).

2. Espérance, variance et écart type

Espérance, variance, écart type

\[ E(X) = \sum_{i=1}^{n} p_i\,x_i \qquad V(X) = \sum_{i=1}^{n} p_i\,\bigl(x_i - E(X)\bigr)^2 \qquad \sigma(X) = \sqrt{V(X)} \]

L’espérance est la valeur moyenne que \(X\) prend quand on répète l’expérience très souvent. La variance et l’écart type mesurent la dispersion des valeurs autour de cette moyenne.

Formule de König-Huygens

\(V(X) = E(X^2) - \bigl(E(X)\bigr)^2\), où \(E(X^2) = \sum p_i\,x_i^2\). Cette écriture évite de soustraire l’espérance à chaque valeur.

Exemple 1 : la roue des saisons

\(E(X) = 0{,}3 \times (-2) + 0{,}5 \times 1 + 0{,}2 \times 5 = -0{,}6 + 0{,}5 + 1 = 0{,}9\).

\(E(X^2) = 0{,}3 \times 4 + 0{,}5 \times 1 + 0{,}2 \times 25 = 1{,}2 + 0{,}5 + 5 = 6{,}7\), donc \(V(X) = 6{,}7 - 0{,}9^2 = 5{,}89\) et \(\sigma(X) = \sqrt{5{,}89} \approx 2{,}43\).

Si le billet coûte 1 euro, le gain net moyen est \(0{,}9 - 1 = -0{,}1\) euro : le jeu est légèrement défavorable au joueur.

Transformation affine

Pour tous réels \(a\) et \(b\) : \(E(aX + b) = a\,E(X) + b\), \(V(aX + b) = a^2\,V(X)\) et \(\sigma(aX + b) = |a|\,\sigma(X)\). Ajouter une constante décale la moyenne mais ne change pas la dispersion.

3. Épreuve de Bernoulli et schéma de Bernoulli

Épreuve de Bernoulli

Une épreuve de Bernoulli de paramètre \(p\) est une expérience à deux issues : le succès \(S\), de probabilité \(p\), et l’échec \(\bar S\), de probabilité \(1-p\). La variable \(X\) qui vaut 1 en cas de succès et 0 sinon suit la loi de Bernoulli de paramètre \(p\).

Pour une loi de Bernoulli, \(E(X) = p\) et \(V(X) = p(1-p)\). En effet \(E(X) = 0 \times (1-p) + 1 \times p\) et \(E(X^2) = p\), donc \(V(X) = p - p^2\).

Un schéma de Bernoulli est la répétition de \(n\) épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes. On le représente par un arbre pondéré :

Sur l’arbre à trois épreuves, l’échec est noté É et chaque chemin porte le produit des probabilités de ses branches : le chemin SSÉ a pour probabilité \(p \times p \times (1-p)\).

4. La loi binomiale

Loi binomiale

Dans un schéma de Bernoulli de \(n\) épreuves de paramètre \(p\), la variable \(X\) qui compte le nombre de succès suit la loi binomiale \(\mathcal{B}(n\,;p)\).

Probabilité de \(k\) succès

Pour tout entier \(k\) tel que \(0 \leqslant k \leqslant n\) :

\[ P(X = k) = \binom{n}{k}\,p^k\,(1-p)^{n-k} \]

Le coefficient \(\binom{n}{k}\) est le nombre de chemins de l’arbre qui contiennent exactement \(k\) succès ; chacun a pour probabilité \(p^k(1-p)^{n-k}\).

Reconnaître et utiliser une loi binomiale

Repère l’épreuve élémentaire et ses deux issues : le succès et l’échec.
Vérifie que les \(n\) répétitions sont identiques et indépendantes (tirage avec remise, lancers successifs…).
Donne \(n\) et \(p\) : « \(X\) suit la loi \(\mathcal{B}(n\,;p)\) ».
Applique la formule, ou la calculatrice pour les sommes de probabilités.

Exemple 2 : lancers francs

Une joueuse réussit un lancer franc avec la probabilité \(0{,}7\). Elle en tente 5 de façon indépendante. Le nombre \(X\) de paniers suit \(\mathcal{B}(5\,;0{,}7)\).

\(P(X = 3) = \binom{5}{3} \times 0{,}7^3 \times 0{,}3^2 = 10 \times 0{,}343 \times 0{,}09 = 0{,}3087\).

\(P(X \geqslant 4) = P(X=4) + P(X=5) = 5 \times 0{,}7^4 \times 0{,}3 + 0{,}7^5 = 0{,}36015 + 0{,}16807 = 0{,}52822\).

Le diagramme ci-dessus montre la loi \(\mathcal{B}(5\,;0{,}7)\) en pourcentage : la valeur la plus probable est 4 succès.

Attention

Un tirage sans remise dans une petite urne ne donne pas une loi binomiale : les probabilités changent d’un tirage à l’autre, donc les épreuves ne sont pas indépendantes. Pense aussi à la phrase « au moins un » : \(P(X \geqslant 1) = 1 - P(X = 0) = 1 - (1-p)^n\).

5. Espérance et variance de la loi binomiale

Moments de la loi binomiale

Si \(X\) suit \(\mathcal{B}(n\,;p)\), alors \[ E(X) = np \qquad V(X) = np(1-p) \qquad \sigma(X) = \sqrt{np(1-p)}. \]

Exemple 3 : graines germées

Une graine germe avec la probabilité \(0{,}15\). Sur un semis de 40 graines indépendantes, \(X\) suit \(\mathcal{B}(40\,;0{,}15)\) : \(E(X) = 40 \times 0{,}15 = 6\) graines, \(V(X) = 40 \times 0{,}15 \times 0{,}85 = 5{,}1\) et \(\sigma(X) = \sqrt{5{,}1} \approx 2{,}26\).

6. Somme de variables aléatoires

Linéarité et indépendance

Pour deux variables \(X\) et \(Y\) définies sur le même univers, \(E(X+Y) = E(X) + E(Y)\), sans aucune condition. Si de plus \(X\) et \(Y\) sont indépendantes, alors \(V(X+Y) = V(X) + V(Y)\), et aussi \(V(X-Y) = V(X) + V(Y)\).

Ces deux règles expliquent la loi binomiale : \(X = X_1 + \dots + X_n\), où chaque \(X_i\) suit la loi de Bernoulli de paramètre \(p\). Alors \(E(X) = n \times p\) et, par indépendance, \(V(X) = n \times p(1-p)\). Elles montrent aussi que la somme de deux variables indépendantes de lois \(\mathcal{B}(n\,;p)\) et \(\mathcal{B}(m\,;p)\) suit \(\mathcal{B}(n+m\,;p)\).

Le conseil de Zyro

Sur ma planète, on calcule d’abord les espérances : elles s’additionnent toujours. Pour les variances, je vérifie d’abord l’indépendance, et seulement après j’additionne. Les écarts types, eux, ne s’additionnent jamais : on passe par la variance, puis par la racine carrée.

7. Inégalité de Bienaymé-Tchebychev

Inégalité de Bienaymé-Tchebychev

Pour toute variable aléatoire \(X\) d’espérance \(E(X)\) et de variance \(V(X)\), et pour tout réel \(\delta > 0\) :

\[ P\bigl(|X - E(X)| \geqslant \delta\bigr) \leqslant \dfrac{V(X)}{\delta^2}. \]

Elle dit que \(X\) s’écarte rarement de sa moyenne, d’autant plus rarement que la variance est petite. Elle s’applique à n’importe quelle loi.

Exemple 4 : cent lancers de pièce

\(X\) compte les piles obtenus en 100 lancers d’une pièce équilibrée : \(X \sim \mathcal{B}(100\,;0{,}5)\), \(E(X) = 50\), \(V(X) = 25\). Avec \(\delta = 10\) : \(P(|X - 50| \geqslant 10) \leqslant \dfrac{25}{100} = 0{,}25\). Donc, avec une probabilité au moins égale à \(0{,}75\), le nombre de piles est compris entre 41 et 59.

La zone bleue regroupe les valeurs dont l’écart à 50 est strictement inférieur à 10.

8. Loi des grands nombres

Soit \(X_1, \dots, X_n\) des variables indépendantes de même loi, d’espérance \(\mu\) et de variance \(\sigma^2\). Leur moyenne \(M_n = \dfrac{X_1 + \dots + X_n}{n}\) vérifie \(E(M_n) = \mu\) et \(V(M_n) = \dfrac{\sigma^2}{n}\). L’inégalité de Bienaymé-Tchebychev donne alors, pour tout \(\delta > 0\) :

\[ P\bigl(|M_n - \mu| \geqslant \delta\bigr) \leqslant \dfrac{\sigma^2}{n\,\delta^2}. \]

Le second membre tend vers 0 quand \(n\) tend vers l’infini : c’est la loi (faible) des grands nombres. Pour un schéma de Bernoulli, la fréquence \(F_n = \dfrac{X}{n}\) des succès se rapproche de \(p\) quand \(n\) grandit, avec \(V(F_n) = \dfrac{p(1-p)}{n}\).

Exemple 5 : combien de lancers ?

Pour une pièce équilibrée, \(V(F_n) = \dfrac{0{,}25}{n}\). On veut \(P(|F_n - 0{,}5| \geqslant 0{,}1) \leqslant 0{,}05\). Il suffit que \(\dfrac{0{,}25}{n \times 0{,}01} \leqslant 0{,}05\), soit \(n \geqslant 500\).

À retenir

La loi d’une variable aléatoire est un tableau de probabilités dont la somme vaut 1.
\(E(X) = \sum p_i x_i\) ; \(V(X) = E(X^2) - E(X)^2\) ; \(\sigma(X) = \sqrt{V(X)}\).
\(E(aX+b) = aE(X)+b\) et \(V(aX+b) = a^2V(X)\).
\(X \sim \mathcal{B}(n\,;p)\) : \(P(X=k) = \binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}\), \(E(X) = np\), \(V(X) = np(1-p)\).
Pour des variables indépendantes, les variances s’additionnent ; les espérances s’additionnent toujours.
Bienaymé-Tchebychev : \(P(|X - E(X)| \geqslant \delta) \leqslant V(X)/\delta^2\).
Loi des grands nombres : la moyenne de \(n\) variables indépendantes de même loi se concentre autour de l’espérance.