Suites numériques et récurrence : exercices de maths Terminale à télécharger en PDF

1 Reconnaître les suites ★★★

Pour chaque suite, dis si elle est arithmétique, géométrique ou ni l’une ni l’autre, et précise la raison : \(a_n = 3n - 5\) ; \(b_n = 2 \times (-1)^n\) ; \(c_n = n^2\) ; \(d_n = \dfrac{7}{2^n}\).

2 Terme général arithmétique ★★★

La suite \((u_n)\) est arithmétique de premier terme \(u_0 = 7\) et de raison \(4\). Donne \(u_n\), calcule \(u_{10}\) puis la somme \(u_0 + u_1 + \dots + u_{10}\).

3 Terme général géométrique ★★★

La suite \((v_n)\) est géométrique de premier terme \(v_0 = 5\) et de raison \(3\). Donne \(v_n\), calcule \(v_4\) puis \(v_0 + v_1 + \dots + v_4\).

4 Variation par la différence ★★★

Étudie le sens de variation de \(u_n = n^2 + 3n + 1\), de \(w_n = 10 - 3n\) et de \(t_n = 6 \times \left(\dfrac{1}{2}\right)^n\).

5 Limites de référence ★★★

Donne la limite de chaque suite : \(5 + \dfrac{1}{n}\) ; \(-3\sqrt{n}\) ; \(0{,}8^n\) ; \(1{,}5^n\) ; \(2 + \dfrac{3}{n^2}\).

6 Une première récurrence ★★★

On pose \(u_0 = 3\) et \(u_{n+1} = u_n + 2\). Démontre par récurrence que \(u_n = 2n + 3\) pour tout entier \(n\).

7 Lire un algorithme de seuil ★★★

On exécute ce programme Python.

u = 1
n = 0
while u < 100 :
    u = 2 * u + 1
    n = n + 1

Quelles sont les valeurs finales de \(u\) et de \(n\) ? Que représente \(n\) pour la suite définie par \(u_0 = 1\) et \(u_{k+1} = 2u_k + 1\) ?

8 Une suite définie par récurrence ★★★

On pose \(u_0 = 1\) et \(u_{n+1} = 3u_n + 2\). Démontre par récurrence que \(u_n = 2 \times 3^n - 1\).

9 Divisibilité ★★★

Démontre par récurrence que, pour tout entier \(n\), le nombre \(4^n - 1\) est divisible par \(3\).

10 Vrai ou faux ? ★★★

Dis si chaque affirmation est vraie ou fausse, en justifiant (un contre-exemple suffit pour une affirmation fausse).

1. Toute suite croissante tend vers \(+\infty\).
2. Toute suite bornée converge.
3. Si \(u_n \geq 0\) pour tout \(n\) et si \((u_n)\) converge vers \(\ell\), alors \(\ell \geq 0\).
4. Toute suite décroissante et minorée converge.

11 Le programme d’entraînement ★★★

Une coureuse parcourt \(12\) km la première semaine, puis augmente sa distance de \(1{,}5\) km chaque semaine. On note \(d_n\) la distance de la semaine \(n\) (avec \(d_1 = 12\)).

1. Exprime \(d_n\) en fonction de \(n\).
2. Quelle distance totale a-t-elle courue en \(10\) semaines ?
3. Dès quelle semaine dépasse-t-elle strictement \(30\) km ?

12 Les panneaux solaires ★★★

Un panneau solaire fournit \(400\) W à l’installation et perd \(2\ \%\) de sa puissance chaque année. On note \(P_n\) la puissance après \(n\) années.

1. Montre que \((P_n)\) est géométrique et donne \(P_n\).
2. Calcule \(P_{10}\), arrondie au dixième.
3. En quelle année la puissance passe-t-elle sous \(300\) W ? (Calculatrice autorisée.)

13 Une limite de quotient ★★★

Détermine la limite de \(u_n = \dfrac{4n^2 - 3n + 1}{2n^2 + 5}\).

14 La quantité conjuguée ★★★

Montre que \(u_n = \sqrt{n+4} - \sqrt{n}\) tend vers \(0\). Indice : multiplie par la quantité conjuguée.

15 Minorer pour tendre vers l’infini ★★★

Montre que \(u_n = 2n + 5 \times (-1)^n\) tend vers \(+\infty\).

16 Un gendarme ★★★

Démontre que \(u_n = \dfrac{3n + \sin n}{n+1}\) converge et donne sa limite.

17 Variation d’une suite avec une puissance ★★★

On pose \(u_n = \dfrac{2^n}{n^2}\) pour \(n \geq 1\). Calcule \(u_1, \dots, u_5\), puis démontre que la suite est croissante à partir du rang \(3\).

18 Une inégalité par récurrence ★★★

Démontre par récurrence que \(2^n \geq n^2\) pour tout entier \(n \geq 4\). En déduire que \(\dfrac{2^n}{n}\) tend vers \(+\infty\).

19 Une suite homographique ★★★

Soit \(u_0 = 0\) et \(u_{n+1} = \dfrac{4u_n + 3}{u_n + 2}\). On pose \(f(x) = \dfrac{4x + 3}{x + 2}\).

1. Calcule \(u_1\) et \(u_2\). Montre que \(f(x) = 4 - \dfrac{5}{x+2}\) et que \(f\) est croissante sur \([0\,;\,+\infty[\).
2. Démontre par récurrence que \(0 \leq u_n \leq 3\).
3. Montre que \((u_n)\) est croissante, puis qu’elle converge.
4. Détermine sa limite.

20 Suite arithmético-géométrique ★★★

On pose \(u_0 = 10\) et \(u_{n+1} = 0{,}5\,u_n + 3\), et \(v_n = u_n - 6\).

1. Calcule \(u_1\) et \(u_2\).
2. Montre que \((v_n)\) est géométrique.
3. Exprime \(v_n\) puis \(u_n\) en fonction de \(n\).
4. Détermine la limite de \((u_n)\).

21 Un seuil de précision ★★★

Reprends la suite \(u_n = 6 + 4 \times 0{,}5^n\). On veut le plus petit rang \(n\) tel que \(u_n - 6 \lt 0{,}001\).

1. Lis ce programme, qui affiche \(n\) à la fin. Que représente la valeur affichée ?

n = 0
while 4 * 0.5 ** n >= 0.001 :
    n = n + 1
print(n)

2. Détermine ce rang à la main avec les puissances de \(2\).

22 Le livret et les dépôts ★★★

Un livret rapporte \(4\ \%\) d’intérêts par an. On y place \(2\,500\) € puis on dépose \(200\) € à la fin de chaque année après les intérêts. Le capital \(u_n\) (en euros) après \(n\) années vérifie \(u_0 = 2500\) et \(u_{n+1} = 1{,}04\,u_n + 200\).

1. Montre que \(w_n = u_n + 5000\) est géométrique.
2. Exprime \(u_n\) en fonction de \(n\) et calcule \(u_{10}\) au centime près.
3. Après combien d’années le capital dépasse-t-il \(10\,000\) € ? (Calculatrice autorisée.)