Probabilités conditionnelles et indépendance : corrigé du contrôle de maths Terminale à télécharger en PDF

1 Un café et ses clients / 3 pts

1. \(P(C)=\dfrac{90}{150}=\dfrac35\). Viennoiseries : \(48+18=66\), donc \(P(V)=\dfrac{66}{150}=\dfrac{11}{25}=0{,}44\). (1 pt)
2. \(P_C(V)=\dfrac{48}{90}=\dfrac8{15}\) et \(P_V(C)=\dfrac{48}{66}=\dfrac8{11}\). (1 pt)
3. \(P(C)P(V)=0{,}6\times0{,}44=0{,}264\) alors que \(P(C\cap V)=\dfrac{48}{150}=0{,}32\). Les valeurs diffèrent : \(C\) et \(V\) ne sont pas indépendants. (1 pt)

2 Les vélos du magasin / 4 pts

1. \(E\) : 0,45 ; \(\overline{E}\) : 0,55. Après \(E\) : \(R\) 0,12 et \(\overline{R}\) 0,88 ; après \(\overline{E}\) : \(R\) 0,05 et \(\overline{R}\) 0,95. (1 pt)
2. \(P(E\cap R)=0{,}45\times0{,}12=0{,}054\). (0,5 pt)
3. Probabilités totales : \(P(R)=0{,}054+0{,}55\times0{,}05=0{,}054+0{,}0275=0{,}0815\). (1,5 pt)
4. \(P_R(E)=\dfrac{0{,}054}{0{,}0815}=\dfrac{108}{163}\approx0{,}663\). (1 pt)

3 Choisir un jeu / 3 pts

1. Un seul jeu est choisi (événements incompatibles) et \(0{,}5+0{,}3+0{,}2=1\) : la réunion est l’univers entier. (0,5 pt)
2. \(P(G)=0{,}5\times0{,}4+0{,}3\times0{,}5+0{,}2\times0{,}8=0{,}2+0{,}15+0{,}16=0{,}51\). (1,5 pt)
3. \(P_G(\text{échecs})=\dfrac{0{,}2}{0{,}51}=\dfrac{20}{51}\approx0{,}392\). (1 pt)

4 Calculs avec indépendance / 3 pts

\(P(A\cap B)=0{,}7\times0{,}2=0{,}14\). (1 pt) \(P(A\cup B)=0{,}7+0{,}2-0{,}14=0{,}76\). (1 pt) Comme \(\overline{A}\) et \(\overline{B}\) sont indépendants, \(P(\overline{A}\cap\overline{B})=0{,}3\times0{,}8=0{,}24\), ce qui vaut bien \(1-P(A\cup B)\) : c’est cohérent, car \(\overline{A}\cap\overline{B}\) est le contraire de \(A\cup B\). (1 pt)

5 Les lancers de dé / 4 pts

1. Un succès a la probabilité \(\dfrac13\). Quatre succès : \(\left(\dfrac13\right)^4=\dfrac1{81}\). (1 pt)
2. Aucun succès : \(\left(\dfrac23\right)^4=\dfrac{16}{81}\). (1 pt)
3. Au moins un succès : \(1-\dfrac{16}{81}=\dfrac{65}{81}\approx0{,}802\). (1 pt)
4. On veut \(1-\left(\dfrac23\right)^n>0{,}95\), soit \(\left(\dfrac23\right)^n<0{,}05\). On a \(\left(\dfrac23\right)^7\approx0{,}0585>0{,}05\) et \(\left(\dfrac23\right)^8\approx0{,}0390<0{,}05\). Le plus petit entier est \(n=8\). (1 pt)

6 Vrai ou faux justifié / 3 pts

1. Faux : \(P(A\cap B)=0\) alors que \(P(A)P(B)=0{,}25\). (1 pt)
2. Vrai : \(P_A(B)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(A)}=\dfrac{P(A)P(B)}{P(A)}=P(B)\). (1 pt)
3. Vrai : \(P(B)=0{,}5\times0{,}6+0{,}5\times0{,}4=0{,}3+0{,}2=0{,}5\). (1 pt)