Probabilités conditionnelles et indépendance : cours de maths Terminale

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Cours de maths en Terminale : Probabilités conditionnelles et indépendance — Zyro, l’explorateur de Planète Maths

Savoir qu’un événement s’est déjà produit change souvent la probabilité d’un autre. Une alarme qui sonne rend un incendie bien plus probable, un ciel noir annonce la pluie. Dans ce chapitre, tu apprends à mesurer cet effet avec les probabilités conditionnelles, à organiser un raisonnement dans un arbre pondéré, à « remonter » des conséquences vers les causes, puis à reconnaître quand deux événements ne s’influencent pas du tout : ils sont indépendants.

Sommaire

1. Probabilité conditionnelle

Définition

Soit \(A\) un événement de probabilité non nulle. La probabilité de \(B\) sachant \(A\) est
\[ P_A(B)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(A)}. \]
On la note aussi \(P(B\mid A)\). On « restreint l’univers » à \(A\) et on mesure la part de \(B\) dans \(A\).

La formule se retourne en la formule des probabilités composées : \(P(A\cap B)=P(A)\times P_A(B)\). Elle permet de calculer une intersection quand on connaît une probabilité de départ et une probabilité conditionnelle.

Propriétés

\(P_A\) est une probabilité : \(0\leqslant P_A(B)\leqslant 1\) et \(P_A(\overline{B})=1-P_A(B)\).
En général \(P_A(B)\neq P_B(A)\) : l’ordre des événements compte.

Exemple 1 : un club sportif

Un club compte 200 licenciés. Parmi eux, \(N\) = « pratique la natation » et \(E\) = « pratique l’escalade ». On connaît les effectifs :

	\(E\)	\(\overline{E}\)	Total
\(N\)	45	75	120
\(\overline{N}\)	45	35	80
Total	90	110	200

On choisit un licencié au hasard. \(P(N)=\dfrac{120}{200}=0{,}6\) et \(P(N\cap E)=\dfrac{45}{200}=0{,}225\). Donc
\(P_N(E)=\dfrac{0{,}225}{0{,}6}=0{,}375\) (c’est aussi \(\dfrac{45}{120}\)), alors que \(P_E(N)=\dfrac{45}{90}=0{,}5\). Les deux probabilités conditionnelles sont différentes.

2. Arbres pondérés

Un arbre pondéré résume une expérience en plusieurs étapes. Chaque branche porte une probabilité : la première étape donne des probabilités simples, la suivante des probabilités conditionnelles à l’étape précédente.

Règles de l’arbre

La somme des probabilités des branches issues d’un même nœud est égale à 1.
La probabilité d’un chemin est le produit des probabilités de ses branches (formule des probabilités composées).
La probabilité d’un événement est la somme des probabilités des chemins qui y mènent.

Exemple 2 : des plants à la jardinerie

Une jardinerie reçoit 70 % de ses plants du fournisseur \(F\) et 30 % du fournisseur \(G\). Un plant de \(F\) est défectueux (événement \(D\)) avec la probabilité \(0{,}02\), un plant de \(G\) avec la probabilité \(0{,}05\).

Le chemin \(F\) puis \(D\) a pour probabilité \(0{,}7\times 0{,}02=0{,}014\) ; le chemin \(G\) puis \(D\) a pour probabilité \(0{,}3\times0{,}05=0{,}015\). Vérification : \(0{,}014+0{,}686+0{,}015+0{,}285=1\).

3. Partition et formule des probabilités totales

Partition de l’univers

Des événements \(A_1,A_2,\dots,A_n\) forment une partition de l’univers \(\Omega\) s’ils sont de probabilité non nulle, deux à deux incompatibles (\(A_i\cap A_j=\varnothing\) si \(i\neq j\)) et si leur réunion est \(\Omega\). Pour tout événement \(A\) tel que \(0

Formule des probabilités totales

Si \(A_1,\dots,A_n\) forment une partition de \(\Omega\), alors pour tout événement \(B\) :
\[ P(B)=P(A_1\cap B)+\dots+P(A_n\cap B)=P(A_1)P_{A_1}(B)+\dots+P(A_n)P_{A_n}(B). \]

Sur l’arbre, c’est exactement « additionner les chemins qui aboutissent à \(B\) ».

Exemple 3 : probabilité d’un plant défectueux

Avec l’arbre de l’exemple 2, \(F\) et \(G\) forment une partition. Donc
\(P(D)=P(F)P_F(D)+P(G)P_G(D)=0{,}014+0{,}015=0{,}029\).

4. Formule de Bayes : remonter vers la cause

L’arbre donne les probabilités « de la cause vers l’effet ». On veut parfois l’inverse : sachant l’effet, quelle était la cause ? On écrit \(P_B(A)\) à partir de \(P_A(B)\).

Formule de Bayes

Si \(P(A)\neq0\) et \(P(B)\neq0\) : \(\;P_B(A)=\dfrac{P(A)\,P_A(B)}{P(B)}\), où \(P(B)\) se calcule avec les probabilités totales.

Exemple 4 : retrouver le fournisseur

On tire un plant et on constate qu’il est défectueux. Quelle est la probabilité qu’il vienne de \(G\) ?
\[P_D(G)=\dfrac{P(G\cap D)}{P(D)}=\dfrac{0{,}015}{0{,}029}=\dfrac{15}{29}\approx0{,}517.\]
Alors que \(G\) ne fournit que 30 % des plants, il est responsable de plus de la moitié des défauts.

Attention

Ne confonds pas \(P_A(B)\) et \(P_B(A)\). Ici \(P_G(D)=0{,}05\) (un plant de \(G\) est défectueux), mais \(P_D(G)\approx0{,}517\) (un plant défectueux vient de \(G\)). Ce ne sont pas les mêmes questions.

5. Événements indépendants

Définition

Deux événements \(A\) et \(B\) sont indépendants lorsque \(P(A\cap B)=P(A)\times P(B)\).

Si \(P(A)\neq0\), cela revient à \(P_A(B)=P(B)\) : savoir que \(A\) est réalisé ne change pas la probabilité de \(B\).

Propriétés

Si \(A\) et \(B\) sont indépendants, alors \(A\) et \(\overline{B}\), \(\overline{A}\) et \(B\), \(\overline{A}\) et \(\overline{B}\) le sont aussi.
Pour tester l’indépendance, on compare \(P(A\cap B)\) et \(P(A)P(B)\).

Attention

« Incompatibles » et « indépendants » sont deux notions très différentes. Si \(A\) et \(B\) sont incompatibles et de probabilités non nulles, alors \(P(A\cap B)=0\) alors que \(P(A)P(B)>0\) : ils ne sont pas indépendants. Deux événements incompatibles se gênent au contraire complètement.

Zyro, l’explorateur extraterrestre, te souffle

Sur la Terre, il y a un truc pour tester l’indépendance : si la probabilité conditionnelle est la même que la probabilité simple, c’est qu’aucun des deux événements ne dit rien de l’autre.

6. Répétition d’épreuves indépendantes

Quand on répète une expérience dans les mêmes conditions et sans que les résultats s’influencent (lancers de pièces, tirs avec remise, appels successifs), les épreuves sont indépendantes : la probabilité d’une suite de résultats est le produit des probabilités de chaque résultat.

Méthode : « au moins un succès »

Note \(p\) la probabilité d’un succès et \(q=1-p\) celle d’un échec.
Pour \(n\) épreuves indépendantes, la probabilité de n’avoir que des échecs est \(q^n\).
L’événement contraire donne : \(P(\text{au moins un succès})=1-q^n\).
Pour trouver le plus petit \(n\) tel que \(1-q^n\geqslant s\), résous \(q^n\leqslant 1-s\) avec la fonction logarithme ou par essais à la calculatrice.

Exemple 5 : les fléchettes

Un joueur atteint la cible avec la probabilité \(0{,}3\) à chaque lancer et lance 5 fléchettes indépendamment. La probabilité de manquer les 5 fois est \(0{,}7^5=0{,}16807\). La probabilité d’atteindre la cible au moins une fois est donc \(1-0{,}16807=0{,}83193\), soit environ \(83{,}2\ \%\).

Plus on répète, plus la probabilité de réussir au moins une fois se rapproche de 1, sans jamais l’atteindre :

À retenir

\(P_A(B)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(A)}\) et \(P(A\cap B)=P(A)\,P_A(B)\) ; en général \(P_A(B)\neq P_B(A)\).
Dans un arbre pondéré : somme égale à 1 à chaque nœud, produit le long d’un chemin, somme sur les chemins qui mènent à l’événement.
Probabilités totales : \(P(B)=\sum P(A_i)\,P_{A_i}(B)\) pour une partition \((A_i)\).
Bayes : \(P_B(A)=\dfrac{P(A)P_A(B)}{P(B)}\).
\(A\) et \(B\) indépendants \(\iff P(A\cap B)=P(A)P(B)\) ; des événements incompatibles de probabilités non nulles ne sont jamais indépendants.
Répétition indépendante : on multiplie ; \(P(\text{au moins un succès})=1-q^n\).